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【题目】1)直线l1yx+1x轴交于点A,直线l2y=﹣x+3x轴交于点Bl1l2交于点C,直线l3过线段AB的中点和点C,求直线l3的解析式;

2)已知平面直角坐标系中,直线l经过点P21)且与双曲线y交于AB不同两点,问是否存在这样的直线l,使得点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的解析式,若不存在,请说明理由;

3)若Ax1y1)、Bx2y2)是抛物线y4x2上的不同两点(y1≠y2),线段AB的垂直平分线与y轴交于点P,与线段AB交于点Mxmym),则称线段AB为点P的一条相关弦,若点P的坐标为(0a)时(a为常数),证明点P相关弦中点M的纵坐标相同.

【答案】1)直线l3的表达式为:x1;(2)直线l的表达式为:y=﹣x+2,见解析;(3)见解析

【解析】

1)直线l1yx+1x轴交于点A,直线l2y=﹣x+3x轴交于点B,则点AB的坐标分别为:(﹣10)、(30),则AB 中点坐标为:(10),即可求解;

2)直线l的表达式为:ykx+12k,将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得:kx2+12k)﹣30,则x1+x22,解得:k=﹣,;

3)设点AB的坐标分别为:(m4m2)、(n4n2),则直线AB中垂线的表达式可设为:yx+a,点M的坐标为:(),将点M的表达式代入AB中垂线的表达式得:yM×+a+a

解:(1)直线l1yx+1x轴交于点A,直线l2y=﹣x+3x轴交于点B

则点AB的坐标分别为:(﹣10)、(30),则AB 中点坐标为:(10),

联立l1l2的表达式并解得:x1,故点C12),

故直线l3的表达式为:x1

2)设直线l的表达式为:ykx+b,将点P的坐标代入上式并解得:

直线l的表达式为:ykx+12k

将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得:kx2+12k)﹣30

x1+x22,解得:k=﹣

故直线l的表达式为:y=﹣x+2

3)设点AB的坐标分别为:(m4m2)、(n4n2),

则直线AB表达式中的k值为:4m+4n

则直线AB中垂线的表达式可设为:yx+a

M的坐标为:(),

将点M的表达式代入AB中垂线的表达式得:yM

故点P的“相关弦”中点M的纵坐标为常数,即都相同.

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