Question

【题目】如图AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，

∠APB=60°.

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求PA及弦AB长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PA=2，AB=2

【解析】（1）证明：连接OB.

∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°

∴∠AOB=180°－30°－30°=120°

∵PA切⊙O于点A,

∴OA⊥PA,即∠OAP=90°.

∵四边形的内角和为360°，

∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.

∴OB⊥PB.

又∵点B是⊙O上的一点，

∴PB是⊙O的切线.

（2）解：连接OP.∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=

∠OPB=∠APB=30°.

在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°

∴OP=2OA=2×2=4，

∴PA= ==2

∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2