【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( ).
①作出AD的依据是SAS;②∠ADC=60°
③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABD=1:2.
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
①根据作图的过程可以判定作出AD的依据;
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
解:①根据作图的过程可知,作出AD的依据是SSS;
故①错误;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2=∠CAB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴AD=2CD,
∴BD=2CD,
∵S△DAC=ACCD,S△ABD=ACBD,
∴S△DAC:S△ABD=ACCD:ACBD =CD:BD=1:2,
即S△DAC:S△ABD=1:2.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:②③④,共有3个.
故选C.
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【题目】如图(1),在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,则有a2+b2=c2;如图(2),△ABC为锐角三角形时,小明猜想a2+b2>c2,理由如下:
设CD=x,在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,
在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,
则b2-x2=c2-(a-x)2,所以a2+b2=c2+2ax,
因为a>0,x>0,所以2ax>0,所以a2+b2>c2,
所以当△ABC为锐角三角形时a2+b2>c2.
所以小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系;
(2)证明你猜想的结论是否正确.
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【题目】已知反比例函数 y=,在下列结论中,错误的是( )
A.图象位于第一、三象限
B.图象必经过点(﹣2,﹣3)
C.y随x的增大而增小
D.若x>2,则0<y<3
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【题目】某儿童游乐园门票价格规定如下表:
购票张数 | 1~50张 | 51~100张 | 100张以上 |
每张票的价格 | 13元 | 11元 | 9元 |
某校七年级(1)、(2)两个班共102人今年6.1儿童节去游该游乐园,其中(1)班人数较少,不足50人。经估算,如果两个班都以班为单位购票,则一共应付1218元。问:
(1)两个班各有多少学生?
(2)如果两班联合起来,作为一个团体购票,可以节省多少钱?
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【题目】画图计算:
(1)已知△ABC,请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P,使得点P到AB和BC的距离相等,且满足P到点B和点C的距离相等(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图2,如果点P是(1)中求作的点,点E、F分别在边AB、BC上,且PE=PF.
①若∠ABC=60°,求∠EPF的度数;
②若BE=2,BF=8,EP=5,求BP的长.
(3)如图3,如果点P是△ABC内一点,且点P到点B的距离是7,若∠ABC=45°,请分别在AB、BC上求作两个点M、N,使得△PMN的周长最小(不写作法,保留作图痕迹),则△PMN的最小值为______.
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【题目】如图,已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点,点D(2,﹣3),点B是线段AD的中点.
(1)求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式;
(2)求△COD的面积;
(3)直接写出 k1x+b≥0 时自变量x的取值范围.
(4)动点P(0,m)在y轴上运动,当 |PCPD| 的值最大时,求点P的坐标.
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【题目】最近,“校园安全”受到全社会的广泛关注,重庆八中对部分学生就校园安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了如下两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为度;请补全条形统计图;
(2)若达到“了解”程度的人中有1名男生2名女生,达到“不了解”的程度的人中有1名男生和1名女生,若分别从达到“了解”程度和“不了解”的人中分别抽取1人参加校园安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
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