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【题目】如图,在ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交ABAC于点MN,再分别以MN为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( .

①作出AD的依据是SAS;②∠ADC=60°

③点DAB的中垂线上;④SDACSABD=12

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

①根据作图的过程可以判定作出AD的依据;

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;

③利用等角对等边可以证得ADB的等腰三角形,由等腰三角形的三合一的性质可以证明点DAB的中垂线上;

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.

解:①根据作图的过程可知,作出AD的依据是SSS

故①错误;

②如图,∵在ABC中,∠C=90°,∠B=30°

∴∠CAB=60°

又∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠1=2=CAB=30°

∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°

故②正确;

③∵∠1=B=30°

AD=BD

∴点DAB的中垂线上.

故③正确;

④∵如图,在直角ACD中,∠2=30°

AD=2CD

BD=2CD

SDAC=ACCDSABD=ACBD

SDACSABD=ACCDACBD =CDBD=12

SDACSABD=12

故④正确.

综上所述,正确的结论是:②③④,共有3个.

故选C

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