Question

二次函数y=x²-2ax+2a+3分别满足下列条件时，求a的取值范围．
（1）抛物线的顶点在x轴上；
（2）函数的最小值是-1；
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）由顶点坐标在x轴上可知其最小值为0，即当x=a时，y有最小值0，代入可求得a；
（2）当x=a时，y有最小值-1，代入可求得a；
（3）由条件可知其对称轴为x=3，代入x=-

b

2a

可求得a的值．

解答：解：二次函数y=x²-2ax+2a+3开口向上，对称轴方程为x=a，所以当x=a时有最小值，最小值为y=-a²+2a+3，
（1）当顶点在x轴上时，可知其最小值为0，则有-a²+2a+3=0，解得a=3或-1，
所以当a=3或-1时，抛物线的顶点在x轴上；
（2）当最小值是-1时，即-a²+2a+3=-1，解得a=1+

5

或a=1-

5

，
所以当a=1+

5

或1-

5

时，二次函数的最小值为-1；
（3）当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，可知二次函数对称轴为x=3，
即a=3，所以当a=3时，二次函数满足当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．

点评：本题主要考查二次函数的最值、对称轴和增减性，掌握二次函数的对称轴方程及最值的求法是解题的关键．