Question

设a、b是任意两个实数，且a＜b．我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当a≤x≤b时，有a≤y≤b，我们就称此函数是闭区间[a，b]上的“闭函数”．若二次函数y=

1

2

x²-2x是区间[m，n]上的“闭函数”，则实数m、n值分别为（　　）

• A、m=1-

  5

  ，n=1+

  5

• B、m=-1，n=2或m=1-

  5

  ，n=1+

  5

• C、m=-2，n=6
• D、m=-2，n=6或m=1-

  5

  ，n=1+

  5

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义

分析：该二次函数的对称为x=2，当x=2时有最小值-2，故分n≤2，m＜2＜n和m≥2三种情况根据二次函数的增减性分别讨论求解即可．

解答：解：该二次函数的对称为x=2，当x=2时有最小值-2，
当n≤2时，二次函数为减函数，所以由闭函数的定义可知

m= 1 2 n2-2n n= 1 2 m2-2m

，
解得

m=0 n=0

（舍去），或

m=6 n=6

（舍去），或

m=1+ 5 n=1- 5

（舍去），或

m=1- 5 n=1+ 5

（舍去）；
当m＜2＜n时，此时二次函数的最小值为-2=m，由闭函数的定义可知n=

1

2

m²-2m或n=

1

2

n²-2n，
①当n=

1

2

m²-2m时，即n=6，此时m=-2，n=6；
②当n=

1

2

n²-2n时，解得n=0（舍去）或n=6；
所以此时可得m=-2，n=6；
当m≥2时，二次函数为增函数，由闭函数的定义可知

m= 1 2 m2-2m n= 1 2 n2-2n

解得得

m=0 n=0

（舍去），或

m=6 n=6

（舍去），或

m=0 n=6

（m＞2，不合题意舍去）或

m=6 n=0

（m＜n，不合题意舍去）；
综上可知m=-2，n=6．
故选C．

点评：本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．