Question

如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．
（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的值；
（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点C落在四边形OABC的边AB上，求a的值．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）如图2，作辅助线，首先证明DM=DN，进而证明∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ，问题即可解决．
（2）如图3，运用翻折变换的性质得到OE=OC=5，DE=BC=3；证明AE=DE，问题即可解决．

解答：解：（1）如图1，连接MD并延长，交OA的延长线于点N；
∵BM∥AN，
∴△BMD∽△AND，
∴

MD

ND

=

BD

AD

，而BD=AD，
∴MD=ND；
由题意得：∠ODM=∠C=90°，∠MOD=∠MOC=θ；
∴OD是线段MN的垂直平分线，
∴OM=ON，
∴OD平分∠MON，
∴∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ，
∵∠AOC=90°，
∴θ=30°．

（2）如图2，由题意得：
l⊥AB，OE=OC=5，DE=BC=3；
∠OED=∠C=90°；
∵∠AOF=45°，l⊥AB，
∴∠A=45°，∠ADE=90°-45°=45°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE=3，
∴OA=5+3=8，
即a的值为8．

点评：该题以梯形为载体，以翻折变换为方法，以梯形的性质、相似三角形的判定及其性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点的考查为核心构造而成；对对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．