Question

8．如图，在△ABC中，AQ是△ABC的角平分线，P是QA延长线上一点．若∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC，PB：PC=1：2，BQ=1，则CQ的长为4．

Answer 1

分析 根据外角的性质得到∠BAQ=∠CAQ=∠BPC，∠BAQ=∠BPQ+∠ABP，等量代换得到∠ABP=∠APC，同理∠ACP=∠APB，推出△PAB∽△CAP，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{PA}=\frac{AP}{AC}=\frac{PB}{PC}=\frac{1}{2}$，求得AB=$\frac{1}{2}$ PA，AC=2PA，于是得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}PA}{2PA}$=$\frac{1}{4}$，即可得到结论．

解答 解：∵∠BAQ=∠CAQ=∠BPC，
而∠BAQ=∠BPQ+∠ABP，
∴∠ABP=∠APC，
同理∠ACP=∠APB，
∴△PAB∽△CAP，
$\frac{AB}{PA}=\frac{AP}{AC}=\frac{PB}{PC}=\frac{1}{2}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$ PA，
AC=2 PA，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}PA}{2PA}$=$\frac{1}{4}$，
在△ABC中，AB：AC=BQ：QC=1：4，
∵BQ=1，
∴CQ=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．