Question

17．把正整数1，2，3，…，2015排成如图所示的7列，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1至7列．
（1）数2015在第288行第6列；
（2）按如图所示的方法用正方形方框框住相邻的四个数，设被框的四个数中，最小的一个数为x，那么
①被框的四个数的和等于4x+16（用含x的代数式表示）；
②被框的四个数的和是否可以等于816或2816？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．
（3）（直接填空）从第1至第7列，各列所有数的和依次记为S₁，S₂，…，S₇，那么
①S₁，S₂，…，S₇这7个数中，最大者与最小者的差等于1728；
②从S₁，S₂，…，S₇中挑选三个数写出一个等式，使得其中两个数的和等于另一个数的2倍，你写出的等式是S₁+S₃=2S₂，S₂+S₄=2S₃，S₃+S₅=2S₄，S₄+S₆=2S₅，S₁+S₅=2S₃，S₂+S₆=2S₄．

Answer 1

分析 （1）求出2015÷7的商和余数即可求解；
（2）①根据另3个数与最小的数相隔8，7，1可得相应的代数式，相加可得这4个数的和；
②把816或2816代入（2）①得到的四个数的和中的代数式，计算可得x的值；
（3）①易得2015个数共有287行数零6个数，则最大的数为S₆，最小的数为S₇，让2015减去287即为最大数与最小数之差；
②根据差补法即可得其中两个数的和等于另一个数的2倍．

解答 解：（1）∵2015÷7=287…6，
∴数2015在第288行第6列；                                                 
（2）①设被框的四个数中，最小的一个数为x，那么其余三个数为x+1，x+7，x+8，
则被框的四个数的和为：x+x+1+x+7+x+8=4x+16；
②当4x+16=816时，解得x=200，
当4x+16=2816时，解得x=700．
∵200不是7的倍数，700是7的倍数，而最小值不能在第7列，
∴被框住的四个数的和可以等于816，此时x=200，而不能等于700；
（3）①2015-287=1728．
故最大者与最小者的差等于1728；
②S₁+S₃=2S₂，S₂+S₄=2S₃，S₃+S₅=2S₄，S₄+S₆=2S₅，S₁+S₅=2S₃，S₂+S₆=2S₄．
故答案为：288，6；4x+16；1728；S₁+S₃=2S₂，S₂+S₄=2S₃，S₃+S₅=2S₄，S₄+S₆=2S₅，S₁+S₅=2S₃，S₂+S₆=2S₄．

点评 考查一元一次方程的应用，数字的变化规律；判断出第1至第7列各列数之和中的最大值与最小值是解决本题的易错点；判断出第6列与第7列相邻2列数之差的计算方法是解决本题的关键．