Question

16．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形PFQ，且∠FPQ=90°，若AB=10，PB=1，则QE的值为（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取AB中点D，连接FD，根据等腰直角三角形的性质，由△ABC为等腰直角三角形得到AC=BC，∠A=45°，再根据点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则AD=BD=4，DP=3，EF为△ABC的中位线，于是可判断△ADF为等腰直角三角形，得到∠FDA=45°，利用三角形中位线的性质得EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=5，根据平行线性质得∠EFP+∠DFP=45°；又由于△PQF为等腰直角三角形，则∠EFP+∠EFQ=45°，所以∠DFP=∠EFQ，然后根据有两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，得出△FDP∽△FEQ，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得．

解答 解：连结FD，D是AB的中点，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，AB=10，PB=1，
∴AC=BC=5$\sqrt{2}$，∠A=45°，
∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，AB=10，PB=1，
∴AD=BD=5，DP=DB-PB=5-1=4，EF、DF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=5，DF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，∠EFP=∠FPD，
∴∠FDA=45°，$\frac{DF}{EF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DFP+∠DPF=45°，
∵△PQF为等腰直角三角形，
∴∠PFE+∠EFQ=45°，FP=PQ，
∴∠DFP=∠EFQ，
∵△PFQ是等腰直角三角形，
∴$\frac{PF}{EQ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{PF}{FQ}$，
∴△FDP∽△FEQ，
∴$\frac{QE}{DP}$=$\frac{EF}{FD}$=$\sqrt{2}$，
∴QE=$\sqrt{2}$DP=4$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查的是等腰直角三角形，相似三角形的判定等知识，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键．