练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    12．已知如图．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l：y=kx-1与两坐标轴分别交于A，B，若OB=2OA，点P是第一象限内直线l上的点，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为C，D．
    （1）求点A的坐标及k的值；
    （2）设点P的横坐标为x，四边形OCPD的面积为y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
    （3）若四边形OCPD的面积为1，点Q是x轴正半轴上的点，且△POQ是等腰三角形，求点Q的坐标．

    分析 （1）根据直线l的解析式为y=kx-1，求出A（$\frac{1}{k}$，0），B（0，-1），根据OB=2OA，求出k的值及点A的坐标；
    （2）根据点P是第一象限内直线l上的点，点P的横坐标为x，可得P（x，2x-1），x＞$\frac{1}{2}$，再根据矩形面积公式即可求解；
    （3）根据四边形OCPD的面积为1，求出P的坐标为（1，1），利用两点间的距离公式求得OP=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，再分三种情况进行讨论：①OQ=OP=$\sqrt{2}$；②PO=PQ；③QO=QP．

    解答 解：（1）∵y=kx-1，
    ∴当y=0时，kx-1=0，x=$\frac{1}{k}$，
    ∴A（$\frac{1}{k}$，0），OA=$\frac{1}{k}$，
    当x=0时，y=-1，
    ∴B（0，-1），OB=1．
    ∵OB=2OA，
    ∴2×$\frac{1}{k}$=1，
    ∴k=2，
    ∴A（$\frac{1}{2}$，0）；

    （2）∵直线l：y=2x-1，点P是第一象限内直线l上的点，点P的横坐标为x，
    ∴P（x，2x-1），x＞$\frac{1}{2}$，
    ∴OC=x，CP=2x-1，
    ∴y=OC•CP=x（2x-1）=2x2-x，
    即y=2x2-x（x＞$\frac{1}{2}$）；

    （3）∵四边形OCPD的面积为1，
    ∴2x2-x=1，
    ∴x1=1，x2=-$\frac{1}{2}$（不合题意舍去），
    ∴P（1，1），OP=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
    如图，当点Q是x轴正半轴上的点，且△POQ是等腰三角形时，分三种情况：
    ①如果OQ=OP=$\sqrt{2}$，那么Q1（$\sqrt{2}$，0）；
    ②如果PO=PQ，那么P在线段OQ的垂直平分线上，Q2（2，0）；
    ③如果QO=QP，那么Q在线段OP的垂直平分线上．
    ∵P（1，1），
    ∴直线OP的解析式为y=x，线段OP的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
    设线段OP的垂直平分线的解析式为y=-x+b，
    将（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）代入，得$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$+b，解得b=1，
    ∴线段OP的垂直平分线的解析式为y=-x+1，
    ∴y=0时，-x+1=0，解得x=1，
    ∴Q3（1，0）．
    综上所述，所求点Q的坐标为Q1（$\sqrt{2}$，0），Q2（2，0），Q3（1，0）．

    点评 本题是一次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的面积，两点间的距离公式，互相垂直的两直线斜率之积为-1的性质，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论以及数形结合是解题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．如图所示，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得C的仰角为45°，已知OA=200米，山坡坡度为$\frac{1}{3}$（即tan∠PAB=$\frac{1}{3}$），且O，A，B在同一条直线上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的垂直高度．（侧倾器的高度忽略不计，结果保留根号）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    2．已知方程-3y+x=2，用含x的代数式表示y为y=$\frac{x-2}{3}$，用含y的代数式表示x为x=2+3y．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    19．若$\left\{\begin{array}{l}{x+7y+11z=9}\\{2x+5y+4z=3}\end{array}\right.$，则x+y-z的值为（　　）
    A．0B．-1C．1D．4

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．m为何值时，关于x的方程（m-$\sqrt{2}$）x${\;}^{{m}^{2}}$-（m+3）x=4x是一元二次方程？并写出该方程中的二次项、一次项、常数项以及各项的系数．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    17．已知关x、y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1-a}\\{x-y=2a-5}\end{array}\right.$，当x=y时，求a的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    4．甲、乙两位同学在解关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{ax+by=m}\\{2ax-by=-2}\end{array}\right.$时，甲解得答案是$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，乙解得答案是$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$，于是他们去问老师谁的答案正确，老师说他们做的都不对，正确答案是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{10}{3}}\\{y=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$老师帮他们检查一下错在哪里，经检查发现，甲同学是抄错了方程组中第一个方程，乙同学是抄错了方程组中第二个方程，其余没有错误根据以上信息请求出方程组中a、b、m的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．
    （1）经过多少秒时，PQ∥CD；
    （2）经过多少秒时，四边形PDCQ为直角梯形；
    （3）经过多少秒时，四边形PDCQ为等腰梯形．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜1}\\{\frac{x-1}{2}≤2（x+1）}\end{array}\right.$并写出不等式组的整数解．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案