Question

【题目】如图在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（﹣1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）联结AD、DC，求△ACD的面积；

（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐

标．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣4，D的坐标是（1，﹣4）；（2）3；（3）P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．

【解析】

(1)将B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，即可求出表达式，将表达式写成顶点式，即可直接写出D点坐标.

(2)先求出△ACD三边的长度，利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，从而求出面积.

(3)先说明∠BAC=∠BCD，∠BCD即为△OPC中的∠OCP，接下来分情况讨论另外有一对角相等时△OPC与△ABC.

解：（1）点B（﹣1，0）、C（3，0）在抛物线y=ax2+bx﹣3上，

∴，

解得：，

∴抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

故顶点D的坐标是（1，﹣4）；

（2）∵A（0，﹣3），C（3，0），D（1，﹣4），

∴AC=3，CD=2，AD=，

∴CD2=AC2+AD2，

∴∠CAD=90°，

∴S△ACD=ACAD=×3×=3；

（3）∵∠CAD=∠AOB=90°，==，

∴△CAD∽△AOB，

∴∠ACD=∠OAB，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=45°，

∴∠OAC+∠OAB=∠OCA+∠ACD，即∠BAC=∠BCD，

若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，且△ABC为锐角三角形，

则△POC也为锐角三角形，点P在第四象限，

由点C（3，0），D（1，﹣4）得直线CD的表达式是：y=2x﹣6，设P（t，2t﹣6）（0＜t＜3）

过P作PH⊥OC，垂足为点H，则OH=t，PH=6﹣2t，

①当∠POC=∠ABC时，由tan∠POC=tan∠ABC得=，

∴=3，

解得：t=，

∴P1（，﹣）；

②当∠POC=∠ACB时，由tan∠POC=tan∠ACB=tan45°=1，得=1，

∴=1，

解得：t=2，

∴P2（2，﹣2），

综上得：P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．

故答案为：（1）y=（x﹣1）2﹣4，D的坐标是（1，﹣4）；（2）3；（3）P1（，﹣）或P2（2，﹣2）．