Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙C上，AC=CD，∠D=30°
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OC，如图，根据等腰三角形的性质，由AC=CD得∠A=∠D=30°，则∠OCA=∠A=30°，于是根据三角形外角性质可计算出∠COD=60°，接着根据三角形内角和可计算出∠OCD=90°，则可根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中利用含30度的直角三角形三边的关系求解．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵AC=CD，
∴∠A=∠D=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COD=∠A+∠OCA=60°，
∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OCD中，
∵∠D=30°，
∴CD=

3

OC=3

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．