Question

【题目】已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°．

（1）求点A、B的坐标；

（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；

（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值．

Answer 1

【答案】（1）A点坐标为，B点坐标为（6，0）；（2）；（3）m的值为或

【解析】

（1）根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得AC的长，再根据锐角三角函数，可得OC，根据点的坐标，可得答案；

（2）根据等腰直角三角形，可得E点坐标，再根据待定系数法，可得答案；

（3）根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得∠CNP=30°，再根据勾股定理求得OE的长，根据点的坐标，可得N点坐标，根据点的左右平移，可得点P坐标.

（1）如图1，

作 AC⊥OB于C点，

由OB＝OA＝6，得B点坐标为（6，0），

由OB＝OA＝6，∠AOB＝30°，得

，

∴A点坐标为；

（2）如图2，

由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得

，

即E点坐标为（3，﹣3）．

设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2﹣3，将B点坐标代入，解得，

抛物线的解析式为

化简得；

（3）如图3，

PN＝2， ，PC＝1，

∠CNP＝∠AOB＝30°，

NP∥OB，

NE＝2，得ON＝4，

由勾股定理，得

，即．

N向右平移2个单位得，

N向左平移2个单位，得，

m的值为或．