Question

【题目】如图，将△ABC沿射线BC平移得到△A′B′C′，使得点A′落在∠ABC的平分线BD上，连接AA′，AC′．

（1）判断四边形ABB′A′的形状，并证明；

（2）在△ABC中，AB＝6，BC＝4，若AC′⊥A′B′，求四边形ABB′A′的面积．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABB′A′是菱形，证明见解析；（2）

【解析】

（1）先根据平移的性质得出四边形ABB′A′是平行四边形，则有∠AA′B＝∠A′BC，再通过角平分线的定义通过等量代换得出∠AA′B＝∠A′BA，则有AB＝AA′，则可证明是菱形；

（2）过点A作AF⊥BC于点F，设AC′与A′B′交于点E，由AB∥A′B′可得出∠BAC′＝∠B′EC′＝90°，在Rt△ABC′中利用勾股定理求出AC′的长度，然后利用等面积法求出AF的长度，最后利用S菱形ABB′A′＝BB′·AF即可求出答案．

解：（1）四边形ABB′A′是菱形．

证明如下：由平移得AB∥A′B′，AB＝A′B′，

∴四边形ABB′A′是平行四边形，

∴∠AA′B＝∠A′BC．

∵BA′平分∠ABC，

∴∠ABA′＝∠A′BC．

∴∠AA′B＝∠A′BA．

∴AB＝AA′．

∴是菱形；

（2）如解图，过点A作AF⊥BC于点F，设AC′与A′B′交于点E．

由（1）得BB′＝BA＝6．

由平移得△A′B′C′≌△ABC，

∴B′C′＝BC＝4．

∴BC′＝10．

∵AC′⊥A′B′，

∴∠B′EC′＝90°．

∵AB∥A′B′，

∴∠BAC′＝∠B′EC′＝90°．

在Rt△ABC′中，AC′＝＝8．

∵S△ABC′＝AB·AC′＝BC′·AF，

∴AF＝＝．

∴S菱形ABB′A′＝BB′·AF＝．

即四边形SABB′A′的面积是．