【题目】已知四边形ABCD是边长为10的菱形,对角线AC、BD相交于点E,过点C作CF∥DB交AB延长线于点F,联结EF交BC于点H.
(1)如图1,当EF⊥BC时,求AE的长;
(2)如图2,以EF为直径作⊙O,⊙O经过点C交边CD于点G(点C、G不重合),设AE的长为x,EH的长为y;
①求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
②联结EG,当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时,求AE的长.
【答案】(1);(2)①y=(<x<10);②或.
【解析】
(1)由菱形性质知DC∥AB、AB=DC、DB和AC互相垂直平分,证平行四边形DBFC得BF=DC=AB=10及∠CAB=∠BCA,由EF⊥BC知∠CAB=∠BCA=∠CFE,据此知△AFC∽△FEC,从而得出FC2=CEAC,即FC2=2AE2,据此可得答案;
(2)①连接OB,由AB=BF、OE=OF知OB∥AC、OB=AE=EC=x,据此得==及EH=EO,根据EO2=BE2+OB2=-x2+100可得答案;②分GD=GE和DE=DG两种情况分别求解可得.
(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DC∥AB、AB=DC、DB和AC互相垂直平分,
∵CF∥DB,
∴四边形DBFC是平行四边形,
∴BF=DC=AB=10,
∴∠CAB=∠BCA,
当EF⊥BC时,∠CAB=∠BCA=∠CFE,
∴Rt△AFC∽Rt△FEC,
∴FC2=CEAC,即FC2=2AE2,
Rt△ACF中,CF2+AC2=AF2,2AE2+4AE2=400,
解得:AE=;
(2)①如图,连接OB,
则AB=BF、OE=OF,
∴OB∥AC,且OB=AE=EC=x,
∴==,
∴EH=EO,
在Rt△EBO中,EO2=BE2+OB2=()2+(x)2=﹣x2+100,
∴y=EO=(<x<10);
②当GD=GE时,有∠GDE=∠GED,
∵AC⊥DB,∠DEC=90°,
∴∠GCE=∠GEC,
∴GE=GC,
∴GD=GC,即G为DC的中点,
又∵EO=FO,
∴GO是梯形EFCD的中位线,
∴GO==DE,
∴y=,
∴=,
解得:x=;
如图2,当DE=DG时,连接OD、OC、GO,
在△GDO和△EDO中,
∵,
∴△GDO≌△EDO(SSS),
∴∠DEO=∠DGO,
∴∠CGO=∠BEO=∠OFC,
∴∠CGO=∠OCG=∠OFC=∠OCF,
∴GC=CF,
∴DC=DG+GC=DE+2DE=10,
即3=10,
解得:x=,
综上,AE的长为或.
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【题目】已知与成正比例,,为常数
(1)试说明:是的一次函数;
(2)若时,;时,,求函数关系式;
(3)将(2)中所得的函数图象平移,使它过点,求平移后的直线的解析式.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,则DM的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=﹣+bx+c过点B、C,且与x轴交于另一个点A.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点M是线段BC上一点,过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N,当四边形OMNC是平行四边形时,求它的面积;
(3)联结AC,设点D是该抛物线上的一点,且满足∠DBA=∠CAO,求点D的坐标.
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【题目】如图的方格地面上,标有编号A、B、C的3个小方格地面是空地,另外6个小方格地面是草坪,除此以外小方格地面完全相同.
(1)一只自由飞行的鸟,将随意地落在图中的方格地面上,问小鸟落在草坪上的概率是多少?
(2)现从3个小方格空地中任意选取2个种植草坪,则刚好选取A和B的2个小方格空地种植草坪的概率是多少(用树形图或列表法求解)?
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【题目】一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球,其中5个黄球,8个黑球,7个红球.
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率;
(2)现从袋中取出若干个黑球,搅匀后,使从袋中摸出一个黑球的概率是,求从袋中取出黑球的个数.
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【题目】光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表:
每台甲型收割机的租金 | 每台乙型收割机的租金 | |
A地区 | 1800 | 1600 |
B地区 | 1600 | 1200 |
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元,说明有多少种分配方案,并将各种方案设计出来;
(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议.
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【题目】我校图书馆大楼工程在招标时,接到甲乙两个工程队的投标书,每施工一个月,需付甲工程队工程款16万元,付乙工程队12万元。工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:
(1)甲队单独完成此项工程刚好如期完工;
(2)乙队单独完成此项工程要比规定工期多用3个月;
(3)若甲乙两队合作2个月,剩下的工程由乙队独做也正好如期完工。
你觉得哪一种施工方案最节省工程款,说明理由。
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