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【题目】已知四边形ABCD是边长为10的菱形,对角线AC、BD相交于点E,过点CCFDBAB延长线于点F,联结EFBC于点H.

(1)如图1,当EFBC时,求AE的长;

(2)如图2,以EF为直径作⊙O,O经过点C交边CD于点G(点C、G不重合),设AE的长为x,EH的长为y;

①求y关于x的函数关系式,并写出定义域;

②联结EG,当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时,求AE的长.

【答案】(1);(2)①y=<x<10);

【解析】

(1)由菱形性质知DCAB、AB=DC、DBAC互相垂直平分,证平行四边形DBFCBF=DC=AB=10及∠CAB=BCA,由EFBC知∠CAB=BCA=CFE,据此知AFC∽△FEC,从而得出FC2=CEAC,即FC2=2AE2,据此可得答案;

(2)①连接OB,由AB=BF、OE=OFOBAC、OB=AE=EC=x,据此得==EH=EO,根据EO2=BE2+OB2=-x2+100可得答案;②分GD=GEDE=DG两种情况分别求解可得.

(1)∵四边形ABCD是菱形,

DCAB、AB=DC、DBAC互相垂直平分,

CFDB,

∴四边形DBFC是平行四边形,

BF=DC=AB=10,

∴∠CAB=BCA,

EFBC时,∠CAB=BCA=CFE,

RtAFCRtFEC,

FC2=CEAC,即FC2=2AE2

RtACF中,CF2+AC2=AF2,2AE2+4AE2=400,

解得:AE=

(2)①如图,连接OB,

AB=BF、OE=OF,

OBAC,且OB=AE=EC=x,

==

EH=EO,

RtEBO中,EO2=BE2+OB2=(2+(x)2=﹣x2+100,

y=EO=<x<10);

②当GD=GE时,有∠GDE=GED,

ACDB,DEC=90°,

∴∠GCE=GEC,

GE=GC,

GD=GC,即GDC的中点,

又∵EO=FO,

GO是梯形EFCD的中位线,

GO==DE,

y=

=

解得:x=

如图2,当DE=DG时,连接OD、OC、GO,

GDOEDO中,

∴△GDO≌△EDO(SSS),

∴∠DEO=DGO,

∴∠CGO=BEO=OFC,

∴∠CGO=OCG=OFC=OCF,

GC=CF,

DC=DG+GC=DE+2DE=10,

3=10,

解得:x=

综上,AE的长为

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每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

A地区

1800

1600

B地区

1600

1200

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