【题目】如图,已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=﹣+bx+c过点B、C,且与x轴交于另一个点A.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点M是线段BC上一点,过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N,当四边形OMNC是平行四边形时,求它的面积;
(3)联结AC,设点D是该抛物线上的一点,且满足∠DBA=∠CAO,求点D的坐标.
【答案】(1);(2)4;(3)(﹣5,﹣18)或(3,2).
【解析】
(1)根据直线解析式求出点B、C的坐标,然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可;
(2)设M(m,-m+2),则N(m,-m2+m+2),则MN=(-m2+m+2)-(-m+2)=-m2+2m,根据MN=OC=2列方程可得M的横坐标,根据平行四边形的面积公式可得结论;
(3)分两种情况:①当D在x轴的下方:根据AC∥BD,直线解析式k相等可设直线BD的解析式为:y=2x+b,把B(4,0)代入得直线BD的解析式为:y=2x-8,联立方程可得D的坐标;②当D在x轴的上方,根据对称可得M的坐标,利用待定系数法求直线BM的解析式,与二次函数的交点,联立方程可得D的坐标.
(1)当x=0时,y=2,
∴C(0,2),
当y=0时,﹣x+2=0,x=4,
∴B(4,0),
把C(0,2)和B(4,0)代入抛物线y=﹣+bx+c中得:,
解得:,
∴该抛物线的表达式:y=;
(2)如图1,
∵C(0,2),
∴OC=2,
设M(m,﹣m+2),则N(m,),
∴MN=(+2)﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,
∵MN∥y轴,
当四边形OMNC是平行四边形时,MN=OC,
即﹣m2+2m=2,
解得:m1=m2=2,
∴Sspan>OCMN=OC×2=2×2=4;
(3)分两种情况:
当y=0时,﹣+2=0,
解得:x1=4,x2=﹣1,
∴A(﹣1,0),
易得直线AC的解析式为:y=2x+2,
①当D在x轴的下方时,如图2,
∵AC∥BD,
∴设直线BD的解析式为:y=2x+b,
把B(4,0)代入得:0=2×4+b,b=﹣8,
∴直线BD的解析式为:y=2x﹣8,
则2x﹣8=+2,解得:x1=﹣5,x2=4(舍),
∴D(﹣5,﹣18);
②当D在x轴的上方时,如图3,
作抛物线的对称轴交直线BD于M,将BE(图2中的点D)于N,
对称轴是:x=﹣=,
∵∠CAO=∠ABE=∠DAB,
∴M与N关于x轴对称,
直线BE的解析式:y=2x﹣8,
当x=时,y=﹣5,
∴N(,﹣5),M(,5),
直线BM的解析式为:y=﹣2x+8,
﹣2x+8=﹣+2,解得:x1=3,x2=4(舍),
∴D(3,2),
综上所述,点D的坐标为:(﹣5,﹣18)或(3,2).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线y=x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标.
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【题目】阅读:对于两个不等的非零实数、,若分式的值为零,则或.又因为,所以关于的方程有两个解,分别为,.应用上面的结论解答下列问题:
(1)方程的两个解分别为、,则 , ;
(2)方程的两个解中较大的一个为 ;
(3)关于的方程的两个解分别为、(),求的
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【题目】如图,∠AOB=56°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为________________.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD平分∠BAC交BC于点D.
(1)求tan∠DAB;
(2)若⊙O过A、D两点,且点O在边AB上,用尺规作图的方法确定点O的位置并求出的⊙O半径.(保留作图轨迹,不写作法)
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【题目】已知四边形ABCD是边长为10的菱形,对角线AC、BD相交于点E,过点C作CF∥DB交AB延长线于点F,联结EF交BC于点H.
(1)如图1,当EF⊥BC时,求AE的长;
(2)如图2,以EF为直径作⊙O,⊙O经过点C交边CD于点G(点C、G不重合),设AE的长为x,EH的长为y;
①求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
②联结EG,当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时,求AE的长.
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【题目】端午节放假期间,小明和小华准备到宜宾的蜀南竹海(记为A)、兴文石海(记为B)、夕佳山居民(记为C)、李庄古镇(记为D)中的一个景点去游玩,他们各自在这四个景点中任选一个,每个景点被选中的可能性相同.
(1)小明选择去蜀南竹海旅游的概率为________;
(2)用画树状图或列表的方法求小明和小华都选择去兴文石海旅游的概率.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB∥ED ,交BC于E,交 AC于F, DE = BC,.
(1) 求证:△FCD 是等腰三角形
(2) 若AB=3.5cm,求CD的长。
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【题目】如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
(1)求证:AE=BD;
(2)请判断△CMN的形状,并说明理由。
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