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【题目】如图,已知直线y=﹣x+2x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=﹣+bx+c过点B、C,且与x轴交于另一个点A.

(1)求该抛物线的表达式;

(2)M是线段BC上一点,过点M作直线ly轴交该抛物线于点N,当四边形OMNC是平行四边形时,求它的面积;

(3)联结AC,设点D是该抛物线上的一点,且满足∠DBA=CAO,求点D的坐标.

【答案】(1);(2)4;(3)(﹣5,﹣18)或(3,2).

【解析】

(1)根据直线解析式求出点B、C的坐标,然后利用待定系数法求二次函数解析式列式求解即可;

(2)设M(m,-m+2),则N(m,-m2+m+2),则MN=(-m2+m+2)-(-m+2)=-m2+2m,根据MN=OC=2列方程可得M的横坐标,根据平行四边形的面积公式可得结论;

(3)分两种情况:①当Dx轴的下方:根据ACBD,直线解析式k相等可设直线BD的解析式为:y=2x+b,把B(4,0)代入得直线BD的解析式为:y=2x-8,联立方程可得D的坐标;②当Dx轴的上方,根据对称可得M的坐标,利用待定系数法求直线BM的解析式,与二次函数的交点,联立方程可得D的坐标.

(1)x=0时,y=2,

C(0,2),

y=0时,﹣x+2=0,x=4,

B(4,0),

C(0,2)和B(4,0)代入抛物线y=﹣+bx+c中得:

解得:

∴该抛物线的表达式:y=

(2)如图1,

C(0,2),

OC=2,

M(m,﹣m+2),则N(m,),

MN=(+2)﹣(﹣m+2)=﹣m2+2m,

MNy轴,

当四边形OMNC是平行四边形时,MN=OC,

即﹣m2+2m=2,

解得:m1=m2=2,

Sspan>OCMN=OC×2=2×2=4;

(3)分两种情况:

y=0时,﹣+2=0,

解得:x1=4,x2=﹣1,

A(﹣1,0),

易得直线AC的解析式为:y=2x+2,

①当Dx轴的下方时,如图2,

ACBD,

∴设直线BD的解析式为:y=2x+b,

B(4,0)代入得:0=2×4+b,b=﹣8,

∴直线BD的解析式为:y=2x﹣8,

2x﹣8=+2,解得:x1=﹣5,x2=4(舍),

D(﹣5,﹣18);

②当Dx轴的上方时,如图3,

作抛物线的对称轴交直线BDM,将BE(图2中的点D)于N,

对称轴是:x=﹣=

∵∠CAO=ABE=DAB,

MN关于x轴对称,

直线BE的解析式:y=2x﹣8,

x=时,y=﹣5,

N(,﹣5),M(,5),

直线BM的解析式为:y=﹣2x+8,

﹣2x+8=﹣+2,解得:x1=3,x2=4(舍),

D(3,2),

综上所述,点D的坐标为:(﹣5,﹣18)或(3,2).

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