【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD平分∠BAC交BC于点D.
(1)求tan∠DAB;
(2)若⊙O过A、D两点,且点O在边AB上,用尺规作图的方法确定点O的位置并求出的⊙O半径.(保留作图轨迹,不写作法)
【答案】(1);(2)作图见解析;r=.
【解析】
(1)过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AC,再利用勾股定理列式求出AB,然后求出BE,设CD=DE=x,表示出BD,然后利用勾股定理列出方程求解即可得到CD的长,进而得出结论.
(2)要使⊙O过A、D两点,即OA=OD,所以点O在线段AD的垂直平分线上,且圆心O在AC边上,所以作出AD的垂直平分线与AC的交点即为点O;利用相似三角形的性质,即可得到⊙O的半径.
(1)过点D作DE⊥AB于E,
∵AD平分∠BAC,
∴CD=DE,
在Rt△ACD和Rt△AED中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AE=AC=3,
由勾股定理得,AB==5,
∴BE=AB﹣AE=5﹣3=2,
设CD=DE=x,则BD=4﹣x,
在Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2,
x2+22=(4﹣x)2,
解得x=,
即CD的长为,
∴Rt△ACD中,tan∠DAC=,
∴tan∠DAB=;
(2)如图,点O即为所求,连接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∴△BDO∽△BCA,
∴,
设OD=AO=r,则BO=5﹣r,
∴,
∴r=,即⊙O半径为.
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【题目】有一张三角形纸片ABC,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸片后,发现所得两张纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是__________.
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【题目】某学校计划选购、两种图书.已知种图书每本价格是种图书每本价格的2.5倍,用1200元单独购买种图书比用1500元单独购买种图书要少25本.
(1)、两种图书每本价格分别为多少元?
(2)如果该学校计划购买种图书的本数比购买种图书本数的2倍多8本,且用于购买、两种图书的总经费不超过1164元,那么该学校最多可以购买多少本种图书?
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【题目】如图,在中,,是高线,,,
(1)用直尺与圆规作三角形内角的平分线(不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的前提下,判断①,②中哪一个正确?并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=36°时,求∠DEF的度数.
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【题目】如图,已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=﹣+bx+c过点B、C,且与x轴交于另一个点A.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点M是线段BC上一点,过点M作直线l∥y轴交该抛物线于点N,当四边形OMNC是平行四边形时,求它的面积;
(3)联结AC,设点D是该抛物线上的一点,且满足∠DBA=∠CAO,求点D的坐标.
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【题目】从一副52张(没有大小王)的扑克牌中,每次抽出1张,然后放回洗匀再抽,在试验中得到下表中部分数据:
(1)将数据表补充完整;
(2)从上表中可以估计出现方块的概率是________(精确到0.01);
(3)从这副扑克牌中取出两组牌,分别是方块1,2,3和红桃1,2,3,将它们背面朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,若摸出的两张牌的牌面数字之和等于3,则甲方赢;若摸出的两张牌的牌面数字之和等于4,则乙方赢.你认为这个游戏对双方是公平的吗?若不是,有利于谁?请你用概率知识(列表法或画树状图法)加以分析说明.
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