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【题目】如图,在RtABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD平分∠BACBC于点D.

(1)tanDAB;

(2)若⊙OA、D两点,且点O在边AB上,用尺规作图的方法确定点O的位置并求出的⊙O半径.(保留作图轨迹,不写作法)

【答案】(1);(2)作图见解析;r=.

【解析】

(1)过点DDEABE,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE,再利用“HL”证明RtACDRtAED全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=AC,再利用勾股定理列式求出AB,然后求出BE,设CD=DE=x,表示出BD,然后利用勾股定理列出方程求解即可得到CD的长,进而得出结论.
(2)要使⊙OA、D两点,即OA=OD,所以点O在线段AD的垂直平分线上,且圆心OAC边上,所以作出AD的垂直平分线与AC的交点即为点O;利用相似三角形的性质,即可得到⊙O的半径.

(1)过点DDEABE,

AD平分∠BAC,

CD=DE,

RtACDRtAED中,

RtACDRtAED(HL),

AE=AC=3,

由勾股定理得,AB==5,

BE=AB﹣AE=5﹣3=2,

CD=DE=x,则BD=4﹣x,

RtBDE中,DE2+BE2=BD2

x2+22=(4﹣x)2

解得x=

CD的长为

RtACD中,tanDAC=

tanDAB=

(2)如图,点O即为所求,连接OD,

OA=OD,

∴∠OAD=ODA,

AD平分∠BAC,

∴∠OAD=CAD,

∴∠CAD=ODA,

ODAC,

∴△BDO∽△BCA,

OD=AO=r,则BO=5﹣r,

r=,即⊙O半径为

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