Question

【题目】如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．

（1）求证：AE＝BD；

（2）请判断△CMN的形状，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）是等边三角形，理由见解析.

【解析】

（1）由等边三角形的性质，结合条件可证明△ACE≌△DCB，则可证得AE＝BD；

（2）利用（1）的结论，结合等边三角形的性质可证明△ACM≌△DCN，可证得MC＝NC，则可判定△CMN为等边三角形．

（1）证明：

∵△ACD和△BCE是等边三角形，

∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，

∵∠DCA＝∠ECB＝60°，

∴∠DCA＋∠DCE＝∠ECB＋∠DCE，∠ACE＝∠DCB，

在△ACE与△DCB中，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD；

（2）解：△CMN为等边三角形，理由如下：

∵由（1）得，△ACE≌△DCB，

∴∠CAM＝∠CDN，

∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，

∴∠DCN＝60°，

在△ACM与△DCN中，

∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴MC＝NC，

∵∠MCN＝60°，

∴△MCN为等边三角形．