Question

【题目】阅读探索

问题背景：著名数学家华罗庚提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次”谈话“的语言.2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图注》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示）.勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积进行了证明.

赵爽证明方法如下：

以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，把这四个直角三角形拼成如图1所示形状.

∵Rt△DAE≌Rt△ABF

∴∠EDA=∠FAB

∵∠EAD+∠EDA=90°

∴∠FAB+∠EAD=90°

∴四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于

∵EF=FG=GH=HE=b-a

∠HEF=90°

∴四边形EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于

∴

∴ 从而证明了勾股定理.

思维拓展：

1、如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为 .

2、美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图2所示，

他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形，请你利用此图形验证勾股定理.

证明：∵直角梯形ABCD的面积可以用两种方法表示：

第一种方法表示为：

第二种方法表示为：

∴ =

∴

探索创新：

用纸做成四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（不同于上面图1和图2）.请画出你拼成的图形，并用你画的图形证明勾股定理.

Answer 1

【答案】思维拓展：1、25；2、ab+ab+c2，（a+b）（a+b），ab+ab+c2，（a+b）（a+b）；探索创新：见详解.

【解析】

思维拓展：1、根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值；

2、用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．

探索创新：把四个全等的直角三角形的斜边首尾相接，可拼成所需图案，分别用两种方法计算大正方形的面积，从而可得结果.

思维拓展：1、解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4×ab=13-1=12，即2ab=12，
则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，
故答案为：25．

2、解：此图可以看成有三个直角三角形的面积和，面积分别为ab，ab和c2，

因此图形面积为ab+ab+c2，

还可以看成一个直角梯形，其面积为（a+b）（a+b），

∴ab+ab+c2=（a+b）（a+b）.

探索创新：解：如图所示，

证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，
大正方形的面积也可表示为：c2+4×ab，
∴（a+b）2=c2+4×ab，
即a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．