Question

5．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长．

Answer 1

分析 （1）DE与半圆O相切，理由为：连接OD，BD，由AB为半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到一个角为直角，可得出三角形BDC为直角三角形，又E为斜边BC的中点，利用中点的定义及斜边上的中线等于斜边的一半，得到ED=EB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，根据∠EBO为直角，得到∠EBD与∠OBD和为90°，等量代换可得出∠ODE为直角，即DE与OD垂直，可得出DE为圆O的切线，得证；
（2）利用因式分解法求出x²-10x+24=0的解，再根据AB大于AD，且AD和AB为方程的解，确定出AB及AD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的长，然后根据三角形相似即可求得BC的长．

解答 （1）证明：DE与半圆O相切，理由为：
连接OD，BD，如图所示：
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为BC的中点，
∴DE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
又∵∠ABC=90°，即∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴DE为圆O的切线；

（2）解：方程x²-10x+24=0，
因式分解得：（x-4）（x-6）=0，
解得：x₁=4，x₂=6，
∵AD、AB的长是方程x²-10x+24=0的两个根，且AB＞AD，
∴AD=4，AB=6，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△ABD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AB}{AD}$，即$\frac{BC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{6}{4}$，
∴BC=3$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了切线的判定，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，以及利用分解因式的方法解一元二次方程，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．