Question

19．如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O，点P是射线AC上一动点，点D是射线BC上一动点，PB=PD．

（1）如图1，当点P在线段OA上，DE⊥AC于点E．，求证：△BPO≌△PDE．
（2）特殊位置，证明结论
当PB平分∠ABO，其余条件不变．试探究线段CD和AP的数量关系，并加以证明．
（3）拓展应用，探索新知
当点P在射线OC上运动时时，其余条件不变．若OP=nCP时，请直接写出CD与AP的数量关系．（不必写解答过程）

Answer 1

分析 （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）分当点P在线段OC上和点P在线段OC延长线上两种情况解答即可．

解答 （1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠BOP=∠PED}\\{BP=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）CD=AP，理由如下：
由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠ABP=∠4}\\{PB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．  
（3）当点P在线段OC上时，CD=$\frac{\sqrt{2}n}{2n+1}$AP；
当点P在线段OC延长线上时，CD=$\frac{\sqrt{2}n}{2n-1}$AP．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．