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【题目】(1)阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点P是等边三角形ABC内一点,PA1PBPC2.求∠BPC的度数.

为利用已知条件,不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C,连接PP′,则PP′的长为_____;在△PAP′中,易证∠PAP′90°,且∠PP′A的度数为_____,综上可得∠BPC的度数为_____

(2)类比迁移

如图2,点P是等腰RtABC内的一点,∠ACB90°PA2PBPC1,求∠APC的度数;

(3)拓展应用

如图3,在四边形ABCD中,BC3CD5ABACAD.∠BAC2ADC,请直接写出BD的长.

【答案】1230°90°;(2)∠APC=90°;(3BD=

【解析】

1)由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形,由等边三角形的性质知∠CP′P=60°,根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形,继而可得答案.

2)如图2,把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C,连接PP′,同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形,所以∠APC=90°

3)如图3,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,根据勾股定理求CG的长,就可以得BD的长.

解:(1)把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C,连接PP′(如图1).

由旋转的性质知△CP′P是等边三角形;

P′A=PB=、∠CP′P=60°P′P=PC=2

在△AP′P中,∵AP2+P′A2=12+2=4=PP′2

∴△AP′P是直角三角形;

∴∠P′AP=90°

PA=PC

∴∠AP′P=30°

∴∠BPC=CP′A=CP′P+AP′P=60°+30°=90°

故答案为:230°90°

2)如图2,把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C,连接PP′

由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形;

P′C=PC=1,∠CPP′=45°P′P=PB=AP'=

在△AP′P中,∵AP'2+P′P2=2+2=2=AP2

∴△AP′P是直角三角形;

∴∠AP′P=90°

∴∠APP'=45°

∴∠APC=APP'+CPP'=45°+45°=90°

3)如图3

AB=AC

将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG

∵∠BAD=CAG

∴∠BAC=DAG

AB=ACAD=AG

∴∠ABC=ACB=ADG=AGD

∴△ABC∽△ADG

AD=2AB

DG=2BC=6

AAEBCE

∵∠BAE+ABC=90°,∠BAE=ADC

∴∠ADG+ADC=90°

∴∠GDC=90°

CG=

BD=CG=

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成绩x/

频数

频率

50≤x60

2

0.04

60≤x70

6

0.12

70≤x80

9

b

80≤x90

a

0.36

90≤x≤100

15

0.30

请根据所给信息,解答下列问题:

1a   b   

2)请补全频数分布直方图;

3)这次比赛成绩的中位数会落在   分数段;

4)若成绩在90分以上(包括90分)的为等,则该年级参加这次比赛的350名学生中成绩等的约有多少人?

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(2)补全条形统计图;

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