【题目】(1)阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点P是等边三角形ABC内一点,PA=1,PB=,PC=2.求∠BPC的度数.
为利用已知条件,不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C,连接PP′,则PP′的长为_____;在△PAP′中,易证∠PAP′=90°,且∠PP′A的度数为_____,综上可得∠BPC的度数为_____;
(2)类比迁移
如图2,点P是等腰Rt△ABC内的一点,∠ACB=90°,PA=2,PB=,PC=1,求∠APC的度数;
(3)拓展应用
如图3,在四边形ABCD中,BC=3,CD=5,AB=AC=AD.∠BAC=2∠ADC,请直接写出BD的长.
【答案】(1)2;30°;90°;(2)∠APC=90°;(3)BD=.
【解析】
(1)由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形,由等边三角形的性质知∠CP′P=60°,根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形,继而可得答案.
(2)如图2,把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C,连接PP′,同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形,所以∠APC=90°;
(3)如图3,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,根据勾股定理求CG的长,就可以得BD的长.
解:(1)把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C,连接PP′(如图1).
由旋转的性质知△CP′P是等边三角形;
∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2,
在△AP′P中,∵AP2+P′A2=12+()2=4=PP′2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠P′AP=90°.
∵PA=PC,
∴∠AP′P=30°;
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°.
故答案为:2;30°;90°;
(2)如图2,把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C,连接PP′.
由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形;
∴P′C=PC=1,∠CPP′=45°、P′P=,PB=AP'=,
在△AP′P中,∵AP'2+P′P2=()2+()2=2=AP2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠AP′P=90°.
∴∠APP'=45°
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
(3)如图3,
∵AB=AC,
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,
∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,
∴△ABC∽△ADG,
∵AD=2AB,
∴DG=2BC=6,
过A作AE⊥BC于E,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,
∴∠ADG+∠ADC=90°,
∴∠GDC=90°,
∴CG=,
∴BD=CG=.
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【题目】某企业生产一种节能产品,投放市场供不应求.若该企业每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于120万元.已知这种产品的月产量(套)与每套的售价(万元)之间满足关系式,月产量(套)与生产总成本(万元)存在如图所示的函数关系.
(1)直接写出与之间的函数关系式;
(2)求月产量的取值范围;
(3)当月产量(套)为多少时,这种产品的利润(万元)最大?最大利润是多少?
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【题目】为了传承中华优秀传统文化,某校组织了一次八年级350名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 2 | 0.04 |
60≤x<70 | 6 | 0.12 |
70≤x<80 | 9 | b |
80≤x<90 | a | 0.36 |
90≤x≤100 | 15 | 0.30 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)a= ,b= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)这次比赛成绩的中位数会落在 分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该年级参加这次比赛的350名学生中成绩“优”等的约有多少人?
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【题目】为了美化环境,建设宜居衡阳,我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查,甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1000m2,若甲种花卉的种植面积不少于200m2,且不超过乙种花卉种植面积的3倍,那么应该怎忙分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少?最少总费用为多少元?
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【题目】“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明:A级:8分﹣10分,B级:7分﹣7.9分,C级:6分﹣6.9分,D级:1分﹣5.9分)
根据所给信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,C对应的扇形的圆心角是 度;
(2)补全条形统计图;
(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 等级;
(4)该校九年级有300名学生,请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人?
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【题目】父亲节即将到来之际,某商店准备购进、两种男装进行销售,其中每套种男装的进价比每套种男装的进价多元用元购进种男装的数量是用元购进种男装数量的倍.
(1)求每套种男装和每套种男装的进价各是多少元:
(2)若该商店本次购进种男装的数量比购进种男装的数量的倍还多套,该商店每套种男装的销售价格为元,每套种男装的销售价格为元,若将本次购进的、两种男装全部售出后获得的利润不少于元,那么该商店至少需要购进种男装多少套?
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【题目】如图,小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度,小明在河边C处测得楼顶A的仰角是60°距C处60米的E处有幢楼房,小明从该楼房中距地面20米的D处测得楼顶A的仰角是30°(点B.C.E在同一直线上且AB、DE均与地面BE处置),求楼AB的高________.
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【题目】如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的一条弦,且CD⊥AB于点E.
(1)若∠A=48°,求∠OCE的度数;
(2)若CD=4,AE=2,求圆O的半径.
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【题目】春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?
(2)商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并求出最大利润.
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