Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0，
∴4k²+4k+1-4k²-8k≥0
∴1-4k≥0，
∴k≤．
∴当k≤时，原方程有两个实数根．　　　

（2）假设存在实数k使得≥0成立．
∵x₁，x₂是原方程的两根，
∴．
由≥0，
得≥0．
∴3（k²+2k）-（2k+1）²≥0，整理得：-（k-1）²≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立．
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得≥0成立．
分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；
（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．
点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．