【题目】如图,BD是ABCD的对角线,AB⊥BD,BD=8cm,AD=10cm,动点P从点D出发,以5cm/s的速度沿DA运动到终点A,同时动点Q从点B出发,沿折线BD-DC运动到终点C,在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB,交射线AB于点M,连接PQ,以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)(t>0),PQMN与ABCD重叠部分图形的面积为S(cm2).
(1)AP= cm(用含t的代数式表示).
(2)当点N落在边AB上时,求t的值.
(3)求S与t之间的函数关系式.
(4)连结NQ,当NQ与△ABD的一边平行时,直接写出t的值.
【答案】(1)10-5t;(2)t= ;(3)见解析;(4)秒或秒或2秒.
【解析】
(1)先表示PD=t,可得AP=10-5t;
(2)如图1,点N落在边AB上,则AP=10-2t,PN=BQ=8t,证明△APN∽△ADB,列比例式得方程,可得t的值;
(3)分三种情况
①当0<t≤时,如图2,过点P作PE⊥BD于点E,PQMN与ABCD重叠部分图形是PQMN,
②当<t≤1时,如图3,PQMN与ABCD重叠部分图形是四边形PQMG,
③当1<t≤2时,如图4,PQMN与ABCD重叠部分图形是五边形PQHBG,
根据三角形和四边形面积和与差可得结论;
(4)分三种情况:①当NQ∥AD时,如图5,根据DQ=BQ=4=8t,得结论;
②当NQ∥AB时,如图6,根据PN=BQ=8t,列方程为:8t+8t=8-4t,得结论;
③如图7,当Q与C重合,P与A重合时,t=2.
(1)由题意得:PD=t,
∵AD=10,
∴AP=10-5t,
故答案为:(10-5t);
(2)如图1,点N落在边AB上,则AP=10-2t,PN=BQ=8t,
∵PN∥BD,
∴△APN∽△ADB,
∴,
∴,
(105t)=8t,
∴t=.
(3)分三种情况:
①当0<t≤时,如图2,过点P作PE⊥BD于点E,PQMN与ABCD重叠部分图形是PQMN,
则PE=3t.
S=BQBE=3t8t=24t2;
②当<t≤1时,如图3,PQMN与ABCD重叠部分图形是四边形PQMG,则BG=3t,
,
,
∴;
③当1<t≤2时,如图4,PQMN与ABCD重叠部分图形是五边形PQHBG,
则PG=(10-5t)=8-4t,MQ=8,MG=BG+MB=6(t-1)+3t=9t-6,
,
∴,
∴S=S梯形PQMG-S△HBM=(PG+QM)MG-BMHM,
=(9t-6)[8-4t+8]- (6t-6)(8t-8),
=-42t2+132t-72;
(4)①当NQ∥AD时,如图5,
∴∠DPQ=∠PQN=∠QNB,
∵PQ=BN,∠PQD=∠NBQ,
∴△DPQ≌△QNB,
∴DQ=BQ=×8=4,
即8t=4,t=;
②当NQ∥AB时,如图6,延长PN交AB于G,则PG⊥AB,则PG=8-4t,
∵PN=BQ=8t,
∴8t+8t=8-4t,t=,
③如图7,当Q与C重合,P与A重合时,t=2,
此时,CM=AN=8,B是AM的中点,
NC在直线BC上,
∴NQ∥AD,
综上所述,t的值为秒或秒或2秒.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)若点E在x轴上,点Q在抛物线上.是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
(2)M(m,0)为x轴上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N,
①点在线段上运动,若以,,为顶点的三角形与相似,求点的坐标;
②点在轴上自由运动,若三个点,,中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称,,三点为“共谐点”.请直接写出使得,,三点成为“共谐点”的的值.
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【题目】某手机店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元,销售相同数量的A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元.
(1)求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元?
(2)该商店计划一次购进两种型号的手机共110部,其中A型手机的进货量不超过B型手机的2倍.设购进B型手机n部,这110部手机的销售总利润为y元.
①求y关于n的函数关系式;
②该手机店购进A型、B型手机各多少部,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对B型手机出厂价下调m(30<m<100)元,且限定商店最多购进B型手机80台.若商店保持两种手机的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这110部手机销售总利润最大的进货方案.
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【题目】某校课程中心为了了解学生对开设的3D打印、木工制作、机器人和电脑编程四门课程的喜爱程度,随机调查了部分学生,每人只能选一项最喜爱的课程.图①是四门课程最喜爱人数的扇形统计图,图②是四门课程男、女生最喜爱人数的条形统计图.
(1)求图①中的值,补全图②中的条形统计图,标上相应的人数;
(2)若该校共有1800名学生,则该校最喜爱3D打印课程的学生约有多少人?
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【题目】如图,△ABC内接与⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长.
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【题目】如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c②9a+3b+c>0:③b2<4ac④c=﹣3a⑤当y<0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是_____(填序号).
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4,).
(1)求抛物线的表达式.
(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2).
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.
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【题目】已知,在△ACB和△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,DC=EC,M为DE的中点,联结BE.
(1)如图1,当点A、D、E在同一直线上,联结CM,求证:CM=;
(2)如图2,当点D在边AB上时,联结BM,求证:BM2=()2+()2.
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