【题目】已知,在△ACB和△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,DC=EC,M为DE的中点,联结BE.
(1)如图1,当点A、D、E在同一直线上,联结CM,求证:CM=;
(2)如图2,当点D在边AB上时,联结BM,求证:BM2=()2+()2.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)先证明△ACD≌△BCE,根据全等三角形的性质得出,AD=BE,得出AE﹣AD=AE﹣BE=DE,根据直角三角形斜边上的中线性质求出CM=DE,即可得出结论;
(2)同(1)得:△ACD≌△BCE,得出AD=BE,∠DAC=∠EBC=45°,得出∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°,由勾股定理得出DE2=BE2+BD2,由直角三角形斜边上的中线性质得出DE=2BM,即可得出结论.
(1)∵∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC,
∴∠ACD=∠BCE=90°﹣∠DCB,∠BAC=∠ABC=45°,
在△ACD和△BCE中,,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,
∴AE﹣AD=AE﹣BE=DE,
∵M为DE的中点,∠DCE=90°,
∴CM= (AE﹣AD)=;
(2)同(1)得:△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠DAC=∠EBC=45°,
∴∠ABE=∠ABC+∠EBC=90°,
∴DE2=BE2+BD2,
∵M为DE的中点,
∴DE=2BM,
∴4BM2=BE2+BD2=AD2+BD2,
∴BM2=.
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【题目】如图,BD是ABCD的对角线,AB⊥BD,BD=8cm,AD=10cm,动点P从点D出发,以5cm/s的速度沿DA运动到终点A,同时动点Q从点B出发,沿折线BD-DC运动到终点C,在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB,交射线AB于点M,连接PQ,以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)(t>0),PQMN与ABCD重叠部分图形的面积为S(cm2).
(1)AP= cm(用含t的代数式表示).
(2)当点N落在边AB上时,求t的值.
(3)求S与t之间的函数关系式.
(4)连结NQ,当NQ与△ABD的一边平行时,直接写出t的值.
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【题目】为了美化校园,学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内,已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆,乙种花卉30盆,搭配一个B种造型需甲种花卉40盆,乙种花卉80盆.则符合要求的搭配方案有几种( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,0),P是第一象限内任意一点,连接PO,PA,若∠POA=m°,∠PAO=n°,则我们把(m°,n°)叫做点P 的“双角坐标”.例如,点(1,1)的“双角坐标”为(45°,90°).
(1)点()的“双角坐标”为_____;
(2)若点P到x轴的距离为,则m+n的最小值为_____.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,∠BAD=90°,BO=DO,那么添加下列一个条件后,仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A. ∠ABC=90°B. ∠BCD=90°C. AB=CDD. AB∥CD
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【题目】小强打算找印刷公司设计一款新年贺卡并印刷.如图1是甲印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明(包含设计费与印刷费),乙公司的收费与印刷卡片数量的关系如图2所示.
(1)分别写出甲乙两公司的收费y(元)与印刷数量x之间的关系式.
(2)如果你是小强,你会选择哪家公司?并说明理由.
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【题目】如图,在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船,均收到已触礁搁浅的船P的求救信号,已知船P在船A的北偏东58°方向,船P在船B的北偏西35°方向,AP的距离为30海里(参考数据:sin32°≈0.53,sin55°≈0.82).
(1)求船P到海岸线MN的距离(精确到0.1海里);
(2)若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往救援,试通过计算判断哪艘船先到达船P处.
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【题目】已知抛物线(为常数,)经过点,点是轴正半轴上的动点.
(Ⅰ)当时,求抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)点在抛物线上,当,时,求的值;
(Ⅲ)点在抛物线上,当的最小值为时,求的值.
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