【题目】如图,四边形中,是对角线,以为边向四边形内部作正方形,连接,则的长为________.
【答案】3.
【解析】
连接CE,由等腰直角三角形的性质得出AC=BC=3,∠ACB=45°,由勾股定理得出AD=,由正方形的性质得出DE=CD=3,∠DCF=90°,∠ECF=45°,CE=CF,求出AE=AD﹣DE=6,证明△BCF∽△ACE,得出,即可得出结果.
连接CE,如图所示:
∵∠ABC=90°,AB=BC=3,
∴AC=BC=3,∠ACB=45°,
∵∠D=90°,CD=3,
∴AD=,
∵四边形CDEF是正方形,
∴DE=CD=3,∠DCF=90°,∠ECF=45°,CE=CF,
∴AE=AD﹣DE=6,
∴∠ACB=∠ECF,
∴∠BCF=∠ACE,
∵,
∴△BCF∽△ACE,
∴,
∴;
故答案为3.
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【题目】如图,已知抛物线=与轴交于,两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在抛物线的对称轴上找到点,使得的周长最小,并求出点的坐标;
(3)在(2)的条件下,若点是线段上的一个动点(不与点、重合).过点作交轴于点.设的长为,问当取何值时,.
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【题目】感知:如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=m,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E,连接CD.
(1)求证:△ACB≌△BED;
(2)△BCD的面积为 (用含m的式子表示).
拓展:如图②,在一般的Rt△ABC,∠ACB=90°,BC=m,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,用含m的式子表示△BCD的面积,并说明理由.
应用:如图③,在等腰△ABC中,AB=AC,BC=8,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD,则△BCD的面积为 ;若BC=m,则△BCD的面积为 (用含m的式子表示).
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【题目】小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
(一)猜测探究
在△ABC中,AB=AC,M是平面内任意一点,将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AN,连接NB.
(1)如图1,若M是线段BC上的任意一点,请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是_______,NB与MC的数量关系是_______;
(2)如图2,点E是AB延长线上点,若M是∠CBE内部射线BD上任意一点,连接MC,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由。
(二)拓展应用
如图3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=90°,∠C1=30°,P是B1C1上的任意点,连接A1P,将A1P绕点A1按顺时针方向旅转60°,得到线段A1Q,连接B1Q.求线段B1Q长度的最小值.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC,垂足为点H,连接DE,交AB于点F.
(1)求证:DH是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为4,
①当AE=FE时,求 的长(结果保留π);
②当 时,求线段AF的长.
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【题目】某批发市场经销龟苓膏粉,其中品牌的批发价是每包20元,品牌的批发价是每包25元,小明计划购买这两种品牌的龟苓膏粉共1000包,解答下列问题:
(1)若购买这些龟苓膏粉共花费22000元,求两种品牌的龟苓膏粉各购买了多少包?
(2)若凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠,会员卡费用为500元,
若购买会员卡并用此卡购买这些龟苓膏粉共花费元,设品牌购买了包,请求出与之间的函数关系式.
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【题目】邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;……依次类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图1,平行四边形中,若,则平行四边形为1阶准菱形.
(1)判断与推理:
① 邻边长分别为2和3的平行四边形是__________阶准菱形;
② 小明为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图2,把平行四边形沿着折叠(点在上)使点落在边上的点,得到四边形,请证明四边形是菱形.
(2)操作、探究与计算:
① 已知平行四边形的邻边分别为1,裁剪线的示意图,并在图形下方写出的值;
② 已知平行四边形的邻边长分别为,满足,请写出平行四边形是几阶准菱形.
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