Question

【题目】邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，平行四边形中，若，则平行四边形为1阶准菱形．

（1）判断与推理：

① 邻边长分别为2和3的平行四边形是__________阶准菱形；

② 小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形沿着折叠（点在上）使点落在边上的点，得到四边形，请证明四边形是菱形．

（2）操作、探究与计算：

① 已知平行四边形的邻边分别为1，裁剪线的示意图，并在图形下方写出的值；

② 已知平行四边形的邻边长分别为，满足，请写出平行四边形是几阶准菱形．

Answer 1

【答案】（1）① 2，②证明见解析；（2）①见解析，②ABCD是10阶准菱形．

【解析】

（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；
②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；
（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；
②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出ABCD是几阶准菱形．

解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，
故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
故答案为：2；
②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是菱形；

（2）①如图所示：
，
②答：10阶菱形，
∵a=6b+r，b=5r，
∴a=6×5r+r=31r；
如图所示：

故ABCD是10阶准菱形．