Question

【题目】感知：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．

（1）求证：△ACB≌△BED；

（2）△BCD的面积为　 　（用含m的式子表示）．

拓展：如图②，在一般的Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含m的式子表示△BCD的面积，并说明理由．

应用：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则△BCD的面积为　 　；若BC＝m，则△BCD的面积为　 　（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】感知：（1）详见解析；（2）m2；拓展： m2，理由详见解析；应用：16， m2．

【解析】

感知：（1）由题意可得CA＝CB，∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质可得BA＝BD，∠ABD＝90°，可得∠DBE＝∠ABC，即可证△ACB≌△BED；

（2）由△ACB≌△BED，可得BC＝DE＝m，根据三角形面积求法可求△BCD的面积；

拓展：作DG⊥CB交CB的延长线于G，可证△ACB≌△BGD，可得BC＝DG＝m，根据三角形面积求法可求△BCD的面积；

应用：过点A作AN⊥BC于N，过点D作DM⊥BC的延长线于点M，由等腰三角形的性质可以得出BN＝BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BN＝DM，由三角形的面积公式就可以得出结论．

感知：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴CA＝CB＝m，∠A＝∠ABC＝45°，

由旋转的性质可知，BA＝BD，∠ABD＝90°，

∴∠DBE＝45°，

在△ACB和△DEB中，

，

∴△ACB≌△BED（AAS）

（2）∵△ACB≌△BED

∴DE＝BC＝m

∴S△BCD＝BC×ED＝m2，

故答案为 m2，

拓展：作DG⊥CB交CB的延长线于G，

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABC+∠DBG＝90°，又∠ABC+∠A＝90°，

∴∠A＝∠DBG，

在△ACB和△BGD中，

，

∴△ACB≌△BGD（AAS），

∴BC＝DG＝m

∴S△BCD＝BC×DG＝m2，

应用：作AN⊥BC于N，DM⊥BC交CB的延长线于M，

∴∠ANB＝∠M＝90°，BN＝BC＝4．

∴∠NAB+∠ABN＝90°．

∵∠ABD＝90°，

∴∠ABN+∠DBM＝90°，

∴∠NAB＝∠MBD．

∵线段BD是由线段AB旋转得到的，

∴AB＝BD．

在△AFB和△BED中，

，

∴△ANB≌△BMD（AAS），

∴BN＝DM＝BC＝4．

∴S△BCD＝BCDM＝×8×4＝16，

若BC＝m，则BN＝DM＝BC＝m，

∴S△BCD＝BCDM＝×m×m＝m2

故答案为16，m2．