Question

【题目】已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；

（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）把b=2和点代入抛物线的解析式，求出c的值，进行配方即可得出顶点坐标

（Ⅱ）根据点和）点在抛物线上和得出点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．过点作轴，垂足为，则点，再根据D、E两点坐标得出为等腰直角三角形，得出，再根据已知条件，，从而求出b的值

（Ⅲ）根据点在抛物线上得出点在第四象限，且在直线的右侧；取点，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，得出，此时的值最小；过点作轴于点，则点．再根据得出m与b的关系，然后根据两点间的距离公式和

的最小值为，列出关于b的方成即可

解：（Ⅰ）∵抛物线经过点，

∴．即．

当时，，

∴抛物线的顶点坐标为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．

∵点在抛物线上，

∴．

由，得，，

∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．

如图，过点作轴，垂足为，则点．

∴，．得．

∴在中，．

∴．

由已知，，

∴．

∴．

（Ⅲ）∵点在抛物线上，

∴．

可知点在第四象限，且在直线的右侧．

考虑到，可取点，

如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，

有，得，

则此时点满足题意．

过点作轴于点，则点．

在中，可知．

∴，．

∵点，

∴．解得．

∵，

∴．

∴．