【题目】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4,).
(1)求抛物线的表达式.
(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2).
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取时,在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大,求出点M的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为:;
(2)①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②存在.R点的坐标是(3,﹣);
(3)M的坐标为(1,﹣).
【解析】
试题(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;
(2)①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况:A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;
(3)A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标.
试题解析:(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
∵正方形的边长2,
∴B的坐标(2,﹣2)A点的坐标是(0,﹣2),
把A(0,﹣2),B(2,﹣2),D(4,﹣)代入得:,
解得a=,b=﹣,c=﹣2,
∴抛物线的解析式为:,
答:抛物线的解析式为:;
(2)①由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=(2﹣2t)2+t2,
即S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1).
答:S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.
∵S=5t2﹣8t+4(0≤t≤1),
∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,
解得t=,t=(不合题意,舍去),
此时点P的坐标为(1,﹣2),Q点的坐标为(2,﹣),
若R点存在,分情况讨论:
(i)假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,
则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣,
即R(3,﹣),
代入,左右两边相等,
∴这时存在R(3,﹣)满足题意;
(ii)假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,
则R(1,﹣)代入,,
左右不相等,∴R不在抛物线上.(1分)
综上所述,存点一点R(3,﹣)满足题意.
答:存在,R点的坐标是(3,﹣);
(3)如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
理由是:∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,
∴|MB|﹣|MD|<|DB|,
即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得:,
解得:k=,b=﹣,
∴y=x﹣,
抛物线的对称轴是x=1,
把x=1代入得:y=﹣
∴M的坐标为(1,﹣);
答:M的坐标为(1,﹣).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G,若EF=EG,则CD的长为( )
A.3.6B.4C.4.8D.5
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,BD是ABCD的对角线,AB⊥BD,BD=8cm,AD=10cm,动点P从点D出发,以5cm/s的速度沿DA运动到终点A,同时动点Q从点B出发,沿折线BD-DC运动到终点C,在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB,交射线AB于点M,连接PQ,以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)(t>0),PQMN与ABCD重叠部分图形的面积为S(cm2).
(1)AP= cm(用含t的代数式表示).
(2)当点N落在边AB上时,求t的值.
(3)求S与t之间的函数关系式.
(4)连结NQ,当NQ与△ABD的一边平行时,直接写出t的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是半圆O的直径,以AB为边在半圆同侧作正方形ABCD,点P是CD中点,BP与半圆交于点Q,连接DQ,设半圆的半径为a.
(1)判断直线DQ与半圆O的位置关系,并说明理由;
(2)求sin∠DQP的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完,该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查.其中,国内市场的日销售量y1(万件)与时间t(t为整数,单位:天)的部分对应值如下表所示.而国外市场的日销售量y2(万件)与时间t(t为整数,单位:天)的关系如图所示.
(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律,写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围;
(2)分别探求该产品在国外市场上市20天前(不含第20天)与20天后(含第20天)的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围;
(3)设国内、外市场的日销售总量为y万件,写出y与时间t的函数关系式,并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大,并求出此时的最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】张师傅驾车从甲地去乙地,途中在加油站加了一次油,加油时,车载电脑显示还能行驶50千米.假设加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶,已知油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示.
(1)求张师傅加油前油箱剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系式;
(2)求出a的值;
(3)求张师傅途中加油多少升?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了美化校园,学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内,已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆,乙种花卉30盆,搭配一个B种造型需甲种花卉40盆,乙种花卉80盆.则符合要求的搭配方案有几种( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(1,0),P是第一象限内任意一点,连接PO,PA,若∠POA=m°,∠PAO=n°,则我们把(m°,n°)叫做点P 的“双角坐标”.例如,点(1,1)的“双角坐标”为(45°,90°).
(1)点()的“双角坐标”为_____;
(2)若点P到x轴的距离为,则m+n的最小值为_____.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com