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【题目】如图所示,在平面直角坐标系xOy,正方形OABC的边长为2cm,A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、BD(4,).

(1)求抛物线的表达式.

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设S=PQ2(cm2).

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

②当S在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.

(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得MD、A的距离之差最大求出点M的坐标.

【答案】1)抛物线的解析式为:;

2①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;

存在.R点的坐标是(3,﹣;

3M的坐标为(1,﹣).

【解析】

试题(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出ABD的坐标代入即可;

2由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以PBRQ为顶点的平行四边形,求出PQ的坐标,再分为两种种情况:ABC即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;

3A关于抛物线的对称轴的对称点为B,BD的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标.

试题解析:(1)设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,

正方形的边长2,

∴B的坐标(2,﹣2A点的坐标是(0,﹣2,

A0,﹣2,B2,﹣2,D4,﹣)代入得:,

解得a=,b=﹣,c=﹣2,

抛物线的解析式为:,

答:抛物线的解析式为:;

2由图象知:PB=2﹣2t,BQ=t,

∴S=PQ2=PB2+BQ2,

=2﹣2t2+t2,

S=5t2﹣8t+40≤t≤1).

答:S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;

假设存在点R,可构成以PBRQ为顶点的平行四边形.

∵S=5t2﹣8t+40≤t≤1,

S=,5t2﹣8t+4=,20t2﹣32t+11=0,

解得t=,t=(不合题意,舍去),

此时点P的坐标为(1,﹣2,Q点的坐标为(2,﹣,

R点存在,分情况讨论:

i)假设RBQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,

R的横坐标为3,R的纵坐标为,

R3,﹣,

代入,左右两边相等,

这时存在R3,﹣)满足题意;

ii)假设RQB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,

R1,﹣)代入,,

左右不相等,∴R不在抛物线上.(1分)

综上所述,存点一点R3,﹣)满足题意.

答:存在,R点的坐标是(3,﹣;

3)如图,M′B=M′A,

∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,BD的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,

理由是:∵MA=MB,M不为LDB的交点,则三点BMD构成三角形,

∴|MB|﹣|MD||DB|,

MDA的距离之差为|DB|,差值最大,

设直线BD的解析式是y=kx+b,BD的坐标代入得:,

解得:k=,b=﹣,

∴y=x﹣,

抛物线的对称轴是x=1,

x=1代入得:y=﹣

∴M的坐标为(1,﹣;

答:M的坐标为(1,﹣).

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