Question

10．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，点O是AC的中点，点P是AC的任意一点，点D在BC边上，且满足PB=PD，作DE⊥AC于点E，设DE=x．
（1）证明：PE=OB；
（2）若△PDC的面积为y，用a，x表示y，并求当x=2时，y的值；
（3）记m=AP•PC+x²，证明：不论点P在什么位置，m的值不变．

Answer 1

分析 （1）根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；解时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论；
（2）根据全等三角形的性质得到DE=OP=x，PE=OB=a，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据AP•PC=（a-x）（a+x）=a²-x²，代入m=AP•PC+x²=a²，即可得到结论．

解答 解：（1）P在AO上，如图1：
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，
∴BO⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠POB=∠DEP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∵∠OBC=∠C=45°，
∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，
∵∠PBD=∠PDB，
∴∠PB0=∠DPE，
在△POB与△DEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠POB=∠DEP}\\{∠PBO=∠DPE}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；
P在OC上，如图2，
同理PE=BO；

（2）∵△OBP≌△EPD，
∴DE=OP=x，PE=OB=a，
∴$y=\frac{1}{2}DE•PC=\frac{1}{2}x（a+x）=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}{x^2}$；  

（3）∵AP•PC=（a-x）（a+x）=a²-x²，
∴m=AP•PC+x²=a²，
即不论点P在什么位置，m的值都是a²．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，是一道难度较大、综合性较强的综合题，解题时一定要仔细审题．