Question

19．如图，抛物线的顶点坐标为（2，6），且经过点（4，2）．P是抛物线上x轴上方一点，且在对称轴右侧，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N．设点P横坐标为m．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式．
（2）当四边形OMPN为正方形时，求m的值．
（3）求四边形OMPN的周长的最大值．
（4）若直线PN与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出$\frac{1}{3}$≤QN≤1时m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据正方形的边长相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据矩形的周长公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（4）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得Q点的坐标，根据QN的长，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，6），
∴设抛物线对应的函数关系式为y=a（x-2）²+6．
∵抛物线经过点（4，2），
∴a（4-2）²+6=2，解得a=-1．
∴抛物线对应的函数关系式为y=-（x-2）²+6，即y=-x²+4x+2；
（2）∵点P在抛物线y=-x²+4x+2上，且点P的横坐标为m，
∴P点坐标为 P（m，-m²+4m+2）．
当四边形OMPN为正方形时，PN=PM，
∴m=-m²+4m+2．
解得m₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$ （舍去）．
∵抛物线y=-x²+4x+2与x轴正半轴的交点为（2+$\sqrt{6}$，0），
且2＜$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$＜2+$\sqrt{6}$，
∴m的值为$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$．
（3）设四边形OMPN的周长为C，
C=2m+2（-m²+4m+2）=-2m²+10m+4=-2（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{33}{2}$．
∵a=-2＜0，2＜$\frac{5}{2}$＜2+$\sqrt{6}$，
∴当m=$\frac{5}{2}$时，四边形OMPN周长的最大值为$\frac{33}{2}$．
（4）如图，
点Q与点P（m，-m²+4m+2）关于x=2对称，得
Q（4-m，-m²+4m+2）．
①当m＜4时，由$\frac{1}{3}$≤QN≤1时，得
$\frac{1}{3}$≤4-m≤1，解得3≤m≤$\frac{11}{3}$；
②当m＞4时，由$\frac{1}{3}$≤QN≤1时，得
$\frac{1}{3}$≤m-4≤1，解得，$\frac{13}{3}$≤m＜2+$\sqrt{6}$；
综上所述，若直线PN与这条抛物线的另一个交点为点Q，直接写出$\frac{1}{3}$≤QN≤1时m的取值范围3≤m≤$\frac{11}{3}$或$\frac{13}{3}$≤m＜2+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，把抛物线的解析式设为顶点式是解题关键；利用了正方形的性质；利用矩形的周长公式得出二次函数的解析是解题关键；利用函数值相等两点关于对称轴对称得出Q点的坐标是解题关键．