大家知道:某些自然数之间的运算结果存在着神奇的规律．比如:5=12+22.13=22+32.5×13=65=42+72,①26=52+12.53=22+72.26×53=1378=32+372,②-．(1)请你仿照①或②.写出两个具有上述规律的算式,(2)根据上面算式结果.可猜想结论“某些自然数.它们能表示成两个平方数的和.将这些自然数相乘.乘积仍是两个平方数的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．大家知道：某些自然数之间的运算结果存在着神奇的规律．
比如：5=1²+2²，13=2²+3²，5×13=65=4²+7²；①
26=5²+1²，53=2²+7²，26×53=1378=3²+37²；②
…．
（1）请你仿照①或②，写出两个具有上述规律的算式；
（2）根据上面算式结果，可猜想结论“某些自然数，它们能表示成两个平方数的和，将这些自然数（两个）相乘，乘积仍是两个平方数的和，即：若x=m²+n²，y=p²+q²，其中m、n、p、q为自然数，则xy能表示成两个代数式的平方和，问：猜想结论成立吗？请说明理由．

分析（1）观察已知数的规律：它们能表示成两个平方数的和，将这些自然数（两个）相乘，乘积仍表示为两个平方数的和，据此写出数即可．
（2）用字母表示数，结合整式运算方法进行计算证明即可．

解答解：（1）10=1²+3²，20=2²+4²，10×20=200=2²+14²
29=5²+2²，10=1²+3²，29×10=290=1²+17²
（2）成立．
证明：若x=m²+n²，y=p²+q²，其中m、n、p、q为自然数，
xy=（m²+n²）（p²+q² ）
=m²p²+m²q²+n²p²+n²q²
=（mp）²+（nq）²+（mq）²+（np）²+2mnpq-2mnpq
=（mp-nq）²+（mq+np）²
因为m，n，p，q都是自然数，所以mp+nq和mq+np都是自然数，所以，猜想能成立．

点评此题主要考察规律的探索与证明，根据已知理清所含规律并合理运用是解题的关键，在证明时，将数用字母表示，再根据整式的运算进行，计算能力很重要．

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