Question

如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由．

Answer 1

证明：在AC上取AF=AE，连接OF，

则△AEO≌△AFO（SAS），
∴∠AOE=∠AOF；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠ECA+∠DAC=（180°-∠B）=60°，
则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；
∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）
则∠COF=60°，
∴∠COD=∠COF，
又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，
∴△FOC≌△DOC（ASA），
∴DC=FC，
∵AC=AF+FC，
∴AC=AE+CD．
分析：在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，在AC上取AF=AE，连接OF，则△AEO≌△AFO（SAS），这是此题的突破点，此题有一定的拔高难度，属于中档题．