Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C（0，2

3

）．⊙P经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求圆心P的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题,两点间的距离公式,待定系数法求二次函数解析式

专题：综合题

分析：（1）只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）连接PC、PB、PA，设点P的坐标为（x，y），根据两点之间的距离公式，由PC=PB及PB=PA得到关于x、y的两个方程，解这两个方程即可解决问题．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（6，0）、点B（2，0）、点C（0，2

3

），
∴

36a+6b+c=0 4a+2b+c=0 c=2 3

，
解得：

a= 3 6 b=- 4 3 3 c=2 3

，
∴二次函数的表达式为y=

3

6

x²-

4 3

3

x+2

3

；

（2）连接PC、PB、PA，如图所示．
设点P的坐标为（x，y），
根据两点之间的距离公式，
由PC=PB得：（x-0）²+（y-2

3

）²=（x-2）²+（y-0）²，
整理得：x-

3

y+2=0．
由PB=PA得：（x-2）²+（y-0）²=（x-6）²+（y-0）²，
整理得：x=4．
把x=4代入x-

3

y+2=0得y=2

3

，
∴圆心P的坐标为（4，2

3

）．

点评：本题主要考查了圆的性质、用待定系数法求二次函数的解析式、两点之间的距离公式等知识，运用两点之间的距离公式是解决第（2）小题的关键．