Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形．

（1）填空：b＝　 　；

（2）求点D的坐标；

（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）（7，4）；（3）存在，（﹣2，）或（，）

【解析】

（1）把（4,0）代入y＝﹣x+b即可求得b的值;

（2）过点D作DE⊥x轴于点E，证明，即可求得AE和DE的长，则D的坐标即可求得;

（3）分当OM=MB=BN=NO时；当OB=BN=NM=MO=3时两种情况进行讨论.

解：（1）把（4，0）代入y＝﹣x+b，得：﹣3+b＝0，解得：b＝3，

故答案是：3；

（2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，

∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

又∵直角△OAB中，∠1+∠3＝90°，

∴∠1＝∠3，

在△OAB和△EDA中，

∴△OAB≌△EDA，

∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝4，

∴OE＝4+3＝7，

∴点D的坐标为（7，4）；

（3）存在．

①如图2，当OM＝MB＝BN＝NM时，四边形OMBN为菱形．

则MN在OB的中垂线上，则M的纵坐标是，

把y＝代入y＝﹣x+3中，得x＝2，即M的坐标是（2，），

则点N的坐标为（﹣2，）．

②如图3，当OB＝BN＝NM＝MO＝3时，四边形BOMN为菱形．

∵ON⊥BM，

∴ON的解析式是y＝x．

根据题意得：

解得：

则点N的坐标为（

综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，）或（．