Question

【题目】如图，在ABCD中，以点A为圆心AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若∠C＝60°，AE＝4，求菱形ABEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8

【解析】

（1）先利用角平分线的性质和平行线的性质得出四边形ABEF是平行四边形，再利用两邻边相等即可证明四边形ABEF是菱形；

（2）连结BF，交AE于G,先利用菱形的性质和特殊角的三角函数值求出BF的长度，然后利用菱形的面积公式即可求解．

解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAF＝∠AEB，

∵∠EAB＝∠EAF，

∴∠EAB＝∠AEB．

∴BE＝AB＝AF．

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB＝BE，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）如图，连结BF，交AE于G．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠C＝60°，

∵四边形ABEF 菱形，

∴BF⊥AE，AG＝EG＝ 2，∠BAG＝∠FAG＝ 30°，

∴BG＝FG＝AGtan30°＝2，

∴BF＝4，

∴菱形ABEF的面积＝．