Question

【题目】如图所示，在平行四边形ABCD中，⊙O是△ABC的外接圆，CD与⊙O相切于点C，点P是劣弧BC上的一个动点（点P不与点B、C重合），连结PA、PB、PC．

（1）求证：；

（2）当时，试判断△APC与△CBA是否全等，请说明理由；

（3）填空：当的度数为_________时，四边形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）全等，见解析；（3）60°

【解析】

（1）连接CO交AB于点E，由CD与圆O相切于点C，得到CE⊥CD，因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，因此CE⊥AB，所以AE=BE，于是CA=CB；

（2）当AC=AP时，△CPA≌△ABC．由于AC=BC，AC=AP，则∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，根据圆周角定理得∠ABC=∠APC，则∠BAC=∠ACP，加上AC=CA，即可得到△CPA≌△ABC；

（3）如图2，连接OC，AC，OB，根据平行线的性质得到∠BCD=120°，根据切线的性质得到∠OCD=90°，推出BO垂直平分AC，即可得到结论．

如图1，连接CO交AB于点E，

∵CD与圆O相切于点C，

∴CE⊥CD，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，

∴CE⊥AB，

∴AE=BE，

∴CA=CB；

(2)当AP=AC时,△APC≌△CBA，理由如下：

∵CA=CB，AP=AC

∴∠ABC=∠BAC，∠APC=∠ACP，

∵∠ABC=∠APC，

∴∠BAC=∠ACP，

在△APC与△CBA中，

∴△APC≌△CBA（AAS）;

(3)当∠ABC的度数为60°时，四边形ABCD是菱形，

如图2，连接OC，AC，OB，

∵∠ABC=60°，

∴∠BCD=120°，

∵CD与O相切于点C，

∴∠OCD=90°，

∴∠BCO=30°，

∵OB=OC，

∴∠OBC=30°，

∴∠ABO=30°，

∴BO垂直平分AC，

∴AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形。

故答案为60°.