Question

如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AB是⊙O的直径，点D是BC的中点，且DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB：BC=3：4，求∠C的正弦值．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AO=BO，点D是BC的中点∴OD∥AC，
∵ED⊥AC，∴ED⊥OD
又∵AB=AC，∴OD==BO
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
∵AB：BC=3：4，∴AC：CD=3：2
∴设CD=2k，AC=3k，∴∴
分析：（1）连接OD，由AO=BO，点D是BC的中点，得出OD∥AC，，再由ED⊥AC，AB=AC，得到ED⊥OD，OD==BO，从而证得DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，由AB=AC，D是BC的中点，AB：BC=3：4，得到AD⊥BC，AC：CD=3：2，设CD=2k，AC=3k，得到AD=k，利用正弦定理得到sinC==．
点评：本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义，此题综合性较强，难度适中，但做起来一定要细心，不然很容易出错．