【题目】已知:在平面直角坐标系中,抛物线 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且对称轴为x=﹣2,点P(0,t)是y轴上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)如图1,当0≤t≤4时,设△PAD的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;S是否有最小值?如果有,求出S的最小值和此时t的值.
(3)如图2,当点P运动到使∠PDA=90°时,Rt△ADP与Rt△AOC是否相似?若相似,求出点P的坐标;若不相似,说明理由.
【答案】
(1)
解:对称轴为x=﹣ =﹣2,
解得b=﹣1,
所以,抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣x+3,
∵y=﹣ x2﹣x+3=﹣ (x+2)2+4,
∴顶点D的坐标为(﹣2,4)
(2)
解:令y=0,则﹣ x2﹣x+3=0,
整理得,x2+4x﹣12=0,
解得x1=﹣6,x2=2,
∴点A(﹣6,0),B(2,0),
如图1,过点D作DE⊥y轴于E,
∵0≤t≤4,
∴△PAD的面积为S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE,
= ×(2+6)×4﹣ ×6t﹣ ×2×(4﹣t),
=﹣2t+12,
∵k=﹣2<0,
∴S随t的增大而减小,
∴t=4时,S有最小值,最小值为﹣2×4+12=4
(3)
解:如图2,过点D作DF⊥x轴于F,
∵A(﹣6,0),D(﹣2,4),
∴AF=﹣2﹣(﹣6)=4,
∴AF=DF,
∴△ADF是等腰直角三角形,
∴∠ADF=45°,
由二次函数对称性,∠BDF=∠ADF=45°,
∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点,
∵OF=OB=2,
∴PO为△BDF的中位线,
∴OP= DF=2,
∴点P的坐标为(0,2),
由勾股定理得,DP= =2 ,
AD= AF=4 ,
∴ = =2,
令x=0,则y=3,
∴点C的坐标为(0,3),OC=3,
∴ = =2,
∴ = ,
又∵∠PDA=90°,∠COA=90°,
∴Rt△ADP∽Rt△AOC
【解析】(1)根据二次函数的对称轴列式求出b的值,即可得到抛物线解析式,然后整理成顶点式形式,再写出顶点坐标即可;(2)令y=0解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标,过点D作DE⊥y轴于E,然后根据△PAD的面积为S=S梯形AOCE﹣S△AOP﹣S△PDE , 列式整理,然后利用一次函数的增减性确定出最小值以及t值;(3)过点D作DF⊥x轴于F,根据点A、D的坐标判断出△ADF是等腰直角三角形,然后求出∠ADF=45°,根据二次函数的对称性可得∠BDF=∠ADF=45°,从而求出∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点,然后求出点P的坐标,再利用勾股定理列式求出AD、PD,再根据两边对应成比例夹角相等两三角形相似判断即可.
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【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=120°,将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,设ON的反向延长线为OD,则∠COD= °,∠AOD= °.
(2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,求∠AOM﹣∠NOC的度数.
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【题目】如图:二次函数y=ax2+bx+c的图像所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2 , 且x1≠x2 , 则x1+x2=2,正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.
(1)请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.
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【题目】如图,已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为10,则图中阴影部分的面积为 .
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【题目】小明家客厅里装有一种三位单极开关,分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯,在正常情况下,小明按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯,既可三盏、两盏齐开,也可分别单盏开.因刚搬进新房不久,不熟悉情况.
(1)若小明任意按下一个开关,则下列说法正确的是( )
A.小明打开的一定是楼梯灯;
B.小明打开的可能是卧室灯;
C.小明打开的不可能是客厅灯;
D.小明打开走廊灯的概率是
(2)若任意按下一个开关后,再按下另两个开关中的一个,则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少?请用树状图法或列表法加以说明.
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【题目】对于二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4,把y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图像记作抛物线E,现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(﹣1,n),请完成下列任务;
(1)【尝试】①当t=2时,抛物线y=t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)的顶点坐标为
(2)②判断点A是否在抛物线E上;
(3)③求n的值.
(4)【发现】通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,坐标为 .
(5)【应用】
①二次函数y=﹣3x2+5x+2是二次函数y=x2﹣3x+3和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗?如果是,求出t的值;如果不是,说明理由;
②以AB为边作矩形ABCD,使得其中一个顶点落在y轴上;若抛物线E经过A,B,C,D其中的三点,求出所有符合条件的t的值.
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