Question

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0）、A（0，8）、B（4，8）、C（4，4）、D（8，4）、E（8，0），若直线l经过点M（3，$\frac{7}{2}$），分别与边OA、DE相交且将多边形OABCDE面积平分．
（1）求直线l的函数表达式．
（2）直线l与抛物线y=x²+$\frac{1}{2}$x+a交于F、G两点，试确定实数a的值，使得∠FOG=90°．
（3）在l上求一点N，使得N点有无数条直线平分多边形OABCDE的面积．

Answer 1

分析 （1）直线l将多边形分得的两部分当中，下面部分是一个梯形，只需让梯形的面积等于多边形面积的一半即可，由此设出直线l的解析式y=kx+b，求出直线与AO、DE的交点K、R，进而表示出梯形的面积，根据梯形面积等于多边形面积的一半列出方程，再加上直线l过点M，则可求k和b．
（2）要求出a的值，必然要找到关于a的方程，而a是二次函数的常数项，且直线l与抛物线相交于两点，由此联想到用韦达定理来解决问题．由于∠FOG=90°，因此可分别过F、G两点向x轴作垂线构造相似三角形，得线段比例关系，而线段是可以用F、G两点的坐标表示的，结合韦达定理，a自然解出．
（3）由于过N点要有无数条直线将多边形面积平分，那么只需要转动（1）当中的梯形的腰KR且保持梯形的面积不变即可，绕着转动的这个点N就是KR的中点，因为直线绕KR中点转动会出现全等三角形，也就是说梯OERK的面积减少的与增加的一样多，就始终等于多边形OABCDE面积的一半．

解答 解：（1）∵O（0，0）、A（0，8）、B（4，8）、C（4，4）、D（8，4）、E（8，0），
∴多边形OABCDE的面积为8×8-4×4=48，
设直线l的函数表达式为y=kx+b，
∵l过点M（3，$\frac{7}{2}$），
∴$\frac{7}{2}$=3k+b，①

设直线l与DE交于点R，与AO交于点K，如图1，
则K（0，b），R（8，8k+b），
∴S_梯FOEG=$\frac{1}{2}$（FO+GE）×OE=$\frac{1}{2}$（8k+b+b）×8=24，
∴4k+b=3，②
由①②可解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5，
K（0，5），R（8，1）．
（2）∵直线l与抛物线y=x²+$\frac{1}{2}$x+a交于F、G两点，
故联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+5}\\{y={x}^{2}+\frac{1}{2}x+a}\end{array}\right.$，
消去y整理得：x²+x+a-5=0，
设F（x₁，y₁），G（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-1}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=a-5}\end{array}\right.$，
∴${y}_{1}•{y}_{2}=（-\frac{1}{2}{x}_{1}+5）（-\frac{1}{2}{x}_{2}+5）$=$\frac{1}{4}{x}_{1}•{x}_{2}-\frac{5}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+25$=$\frac{1}{4}a+\frac{105}{4}$，
过点F作FP⊥x轴于点P，过点G作GH⊥x轴于点H，如图2，

∵∠FOG=90°，
∴∠FOP+∠GOH=90°，
∵∠FOP+∠PFO=90°，
∴∠PFO=∠GOH，
∴△FOP∽△OGH，
∴$\frac{FP}{OH}=\frac{OP}{GH}$，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-{x}_{1}}{{y}_{2}}$，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴$a-5+\frac{1}{4}a+\frac{105}{4}=0$，
解得：a=-17．
（3）取N为KR的中点即可，原因如下：
过点N作任意直线与AO交于点J，与DE交于点Q，如图3，

∵DE∥AO，
∴∠NKJ=∠NRQ，∠NJK=∠NQR，
在△KNJ与△RNQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NKJ=∠NRQ}\\{∠NJK=∠NQR}\\{NK=KR}\end{array}\right.$，
∴△KNJ≌△RNQ（AAS），
∴梯形OJQE与梯形OKRE的面积是相等的，
∵梯形OKRE的面积是多边形OABCDE面积的一半，
∴过N点有无数条直线将多边形OABCDE面积平分．
∵K（0，5），R（8，1），
∴N（4，3）即满足要求的点．

点评 本题考查了面积求法、待定系数法求一次函数解析式、韦达定理、直线与抛物线的位置关系、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等积变换等多个知识点，综合性与技巧性都比较强，难度较大，是一道值得同学们研习的好题．