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【题目】如图,直线y=k1x(x≥0)与双曲线y=(x>0)相交于点P(2,4).已知点A(4,0),B(0,3),连接AB,将RtAOB沿OP方向平移,使点O移动到点P,得到A'PB'.过点A'A'Cy轴交双曲线于点C.

(1)求k1k2的值;

(2)求直线PC的表达式;

(3)直接写出线段AB扫过的面积.

【答案】(1)k1=2,k2=8;(2)y=﹣x+;(3)22.

【解析】

(1)把点P(2,4)代入直线y=k1x,把点P(2,4)代入双曲线y=,可得k1k2的值;

(2)根据平移的性质,求得C(6,),再运用待定系数法,即可得到直线PC的表达式;

(3)延长A'Cx轴于D,过B'B'Ey轴于E,根据AOB≌△A'PB',可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积,据此可得线段AB扫过的面积.

(1)把点P(2,4)代入直线y=k1x,可得4=2k1

k1=2,

把点P(2,4)代入双曲线y=,可得k2=2×4=8;

(2)A(4,0),B(0,3),

AO=4,BO=3,

如图,延长A'Cx轴于D,

由平移可得,A'P=AO=4,

又∵A'Cy轴,P(2,4),

∴点C的横坐标为2+4=6,

x=6时,y=,即C(6,),

设直线PC的解析式为y=kx+b,

P(2,4),C(6,)代入可得,解得

∴直线PC的表达式为y=﹣x+

(3)如图,延长A'Cx轴于D,

由平移可得,A'PAO,

又∵A'Cy轴,P(2,4),

∴点A'的纵坐标为4,即A'D=4,

如图,过B'B'Ey轴于E,

PB'y轴,P(2,4),

∴点B'的横坐标为2,即B'E=2,

又∵△AOB≌△A'PB',

∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22.

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