Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于点A（–a，0）、点 B（0， b），且 a、b 满足a2+b2–4a–8b+20=0，点 P 在直线 AB 的右侧，且∠APB＝45°．

（1）a＝　　　　　 ；b＝　　　　　　　 ．

（2）若点 P 在 x 轴上，请在图中画出图形（BP 为虚线），并写出点 P 的坐标；

（3）若点 P 不在 x 轴上，是否存在点P，使△ABP 为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2，4；（2）见解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．

【解析】

（1）将已知等式变形，利用乘方的非负性即可求出a值；

（2）根据题意画出图形，由（1）得出OB的长，结合∠APB＝45°，得出OP＝OB，可得点B的坐标；

（3）分当∠ABP＝90°时和当∠BAP＝90°时两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质即可求出点P坐标.

解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，

∴（ a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，

∴（ a–2）2+（b–4） 2＝0

∴a＝2，b＝4，

故答案为：2，4；

（2）如图 1，由（1）知，b＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

点 P 在直线 AB 的右侧，且在 x 轴上，

∵∠APB＝45°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0），

故答案为：（4，0）；

（3）存在．理由如下：

由（1）知 a＝﹣2，b＝4，

∴A（﹣2，0），B（0，4），

∴OA＝2，OB＝4，

∵△ABP 是直角三角形，且∠APB＝45°，

∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，

Ⅰ、如图 2，当∠ABP＝90°时，

∵∠APB＝∠BAP＝45°，

∴AB＝PB ，

过点 P 作 PC⊥OB 于 C，

∴∠BPC+∠CBP＝90°，

∵∠CBP+∠ABO＝90 °，

∴∠ABO＝∠BPC，

在△AOB 和△BCP 中，

，

∴△AOB≌△BCP（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝2，

∴P（4，2），Ⅱ、如图3，当∠BAP＝90°时，

过点 P'作 P'D⊥OA 于 D，

同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，

∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣OA＝2，

∴P'（2，﹣2）；

即：满足条件的点 P（4，2）或（2，﹣2）；