Question

15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC，BD=BC，若AD=$\sqrt{2}$，则梯形的面积是$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 作AE⊥BC与E，DF⊥BC与F，则EF=AD=$\sqrt{2}$，由等腰直角三角形的性质得出AE=BE=CE=DF，设AE=BE=CE=DF=x，得出BF、BD，根据勾股定理得出方程，解方程求出DF，得出BC，梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×DF，即可得出结果．

解答 解：作AE⊥BC与E，DF⊥BC与F，如图所示：
则EF=AD=$\sqrt{2}$，
∵AB=AC，AB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AE=BE=CE=DF，
设AE=BE=CE=DF=x，
∴BF=BE+EF=x+$\sqrt{2}$，
BD=BC=NE+CE=x+x=2x，
由勾股定理得：BF²+DF²=BD²，
即（x+$\sqrt{2}$）²+x²=（2x）²，
解得：x=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{6}}{2}$（负值舍去），
∴x=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，BC=2=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×DF=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$=$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了梯形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、梯形面积的计算；本题有一定难度，需要通过作辅助线运用勾股定理得出方程才能得出结果．