Question

10．如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到点E，CE=CG，连接BG并延长交DE于F．
（1）若BG=6，求DE的长．
（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′．求证：四边形E′BGD为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°，由SAS证明△BCG≌△DCE，得出对应边相等即可；
（2）由旋转的性质得出AE′=CE，DE′=DE，由△BCG≌△DCE，得出DE=BG，CE=CG，证出AE=CG，得出BE′=DG，即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴DE=BG=6；
（2）证明：由旋转的性质得：△DAE′≌△DCE，
∴AE′=CE，DE′=DE，
∵△BCG≌△DCE，
∴DE=BG，CE=CG，
∴AE=CG，
∴AB-AE′=DC-CG，
即BE′=DG，
∴四边形E′BGD为平形四边形．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．