Question

18．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，OA所在直线的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，已知|OA|=10，点F为BC的中点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）求△AOF的面积和点C的坐标；
（3）过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO，问是否存在这样的点P，使以P，O，A为顶点的三角形是钝角三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥x轴于点H，如图①，只需根据条件求出点A的坐标，就可求出反比例函数的解析式；
（2）过点F作FG⊥x轴于G，如图①，易证△AOH∽△FBG，根据相似三角形的性质即可求出BG、FG，从而得到点F的纵坐标，然后根据点F在反比例函数图象上，可求出点F的坐标，从而可求出OB（即AC），根据点A的坐标就可求出点C的坐标，根据OB、AH的值可求出平行四边形OACB的面积，就可得到△AOF的面积；
（3）要求△POA为钝角三角形时点P的横坐标的取值范围，只需先求出△POA为直角三角形时点P的横坐标，可分三种情况（①∠APO=90°，②∠PAO=90°，③∠AOP=90°）讨论，运用两点间的距离公式及勾股定理即可解决问题．

解答 解：（1）过点A作AH⊥x轴于点H，如图①．
∵点A在直线y=$\frac{4}{3}$x上，
∴可设A（3x，4x）．
∵点A在第一象限，
∴x＞0，OH=3x，AH=4x．
∵OA=10，
∴$\sqrt{（3x）^{2}+（4x）^{2}}$=10，
解得：x=2，
∴A（6，8），
∴k=6×8=48，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{48}{x}$；

（2）过点F作FG⊥x轴于G，如图①，
∵四边形OACB是平行四边形，
∴OA=BC，AC=OB，OA∥BC，
∴∠AOH=∠FBG．
∵AH⊥x轴，FG⊥轴，
∴∠AHO=∠FGB=90°，
∴△AOH∽△FBG，
∴$\frac{OH}{BG}$=$\frac{AH}{FG}$=$\frac{OA}{BF}$．
∵点F为BC边的中点，
∴OA=BC=2BF，
∴OH=2BG=6，AH=2FG=8，
∴BG=3，FG=4．
∵点F在反比函数的图象上，
∴x_F•y_F=4x_F=48，
∴x_F=12，
∴OG=12，OB=OG-BG=12-3=9，
∴AC=OB=9，
∴点C的坐标为（6+9，8）即（15，8），
S_△AOF=$\frac{1}{2}$S_?OACB=$\frac{1}{2}$×OB×AH=$\frac{1}{2}$×9×8=36；

（3）满足条件的点P的横坐标x的取值范围为-2＜x＜8或x＞$\frac{34}{3}$或x＜-$\frac{16}{3}$．
提示：先考虑以P，O，A为顶点的三角形是直角三角形的情况：
∵EF∥OB，
∴点P的纵坐标为4，
∴可设点P的坐标为（x，4）．
根据两点间距离公式可得：
PA²=（x-6）²+（4-8）²=x²-12x+52，
OP²=（x-0）²+（4-0）²=x²+16．
①当∠APO=90°时，如图②，

则PA²+OP²=OA²，
即x²-12x+52+x²+16=100，
整理得x²-6x-16=0
解得：x₁=8，x₂=-2．
∵点A的坐标为（6，8），
∴OA的中点E的坐标为（3，4），
∴当-2＜x＜8且x≠3时，△OPA是钝角三角形；
②当∠PAO=90°时，如图③，

则PA²+OA²=OP²，
即x²-12x+52+100=x²+16，
解得：x=$\frac{34}{3}$，
∴当x＞$\frac{34}{3}$时，△OPA是钝角三角形；
③当∠POA=90°时，如图④，

则OP²+OA²=PA²，
即x²+16+100=x²-12x+52，
解得：x=-$\frac{16}{3}$，
∴当x＜-$\frac{16}{3}$时，△OPA是钝角三角形；
综上所述：当以P，O，A为顶点的三角形是钝角三角形时，
点P的横坐标x的取值范围为-2＜x＜8且x≠3或x＞$\frac{34}{3}$或x＜-$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、两点间距离公式、勾股定理、解方程等知识，运用临界位置法是求取值范围最常用的一种方法，应熟练掌握．