Question

8．抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，以CB为边作?CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且?CBPQ的面积为30，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O₁过点A、B、C三点，AE为直径，点M为$\widehat{ACE}$上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程，从而可求得a、b的值；
（2）设点P的坐标为P（m，m²-6m+4），由平行四边形的面积为30可知S_△CBP=15，由S_{△CBP=^S梯形CEDP}-S_△CEB-S_△PBD，得到关于m的方程求得m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先证明△EAB∽△NMB，从而可得到NB=$\frac{3}{2}MB$，当MB为圆的直径时，NB有最大值．

解答 解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+4=-1}\\{25a+5b+4=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-6}\end{array}\right.$．
∴抛物线得解析式为y=x²-6x+4．
（2）如图所示：

设点P的坐标为P（m，m²-6m+4）
∵平行四边形的面积为30，
∴S_△CBP=15，即：S_{△CBP=^S梯形CEDP}-S_△CEB-S_△PBD．
∴$\frac{1}{2}$m（5+m²-6m+4+1）-$\frac{1}{2}$×5×5-$\frac{1}{2}$（m-5）（m²-6m+5）=15．
化简得：m²-5m-6=0，
解得：m=6，或m=-1．
∴点P的坐标为（6，4）或（-1，11）．
（3）连接AB、EB．

∵AE是圆的直径，
∴∠ABE=90°．
∴∠ABE=∠MBN．
又∵∠EAB=∠EMB，
∴△EAB∽△NMB．
∵A（1，-1），B（5，-1），
∴点O₁的横坐标为3，
将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设点O₁的坐标为（3，m），
∵O₁C=O₁A，
∴$\sqrt{{3}^{2}+（m-4）^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+（m+1）^{2}}$，
解得：m=2，
∴点O₁的坐标为（3，2），
∴O₁A=$\sqrt{{3}^{2}+（2-4）^{2}}=\sqrt{13}$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{13}）^{2}-{4}^{2}}$=6，
∴点E的坐标为（5，5）．
∴AB=4，BE=6．
∵△EAB∽△NMB，
∴$\frac{AB}{EB}=\frac{MB}{NB}$．
∴$\frac{4}{6}=\frac{MB}{NB}$．
∴NB=$\frac{3}{2}MB$．
∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．
∴MB=AE=2$\sqrt{13}$，
∴NB=$\frac{3}{2}×2\sqrt{13}$=3$\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，利用两点间的距离公式求得圆的半径是解题的关键．