Question

20．如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC=CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB=4，求线段CE、CG与$\widehat{GE}$围成的阴影部分的面积S．

Answer 1

分析 （1）求出∠DAC=30°，即可求出∠DAB=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面积，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
又∵AC=CD，
∴AC=BC=CD，
∴△ABD为直角三角形，
∴AB⊥AD，
∵AB为直径，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：连接OE，
∵OA=OE，∠BAC=60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∵CB=BA，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠EOC=30°，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴AO=2，由勾股定理得：OC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
同理等边三角形AOE边AO上高是$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
S_阴影=S_△AOC-S_等边△AOE-S_扇形EOG=$\frac{1}{2}•2•2\sqrt{3}-\frac{1}{2}•2•\sqrt{3}-\frac{30•π•{2}^{2}}{360}$=$\sqrt{3}-\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积，切线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．