Question

4．如图，二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）根据B、C、M的坐标，可求得△BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）△BCM为直角三角形，理由为：
对于抛物线解析式y=x²-2x-3=（x-1）²-4，即顶点M坐标为（1，-4），
令x=0，得到y=-3，即C（0，-3），
根据勾股定理得：BC=3$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{2}$，
∵BM²=BC²+CM²，
∴△BCM为直角三角形；
（3）若∠APC=90°，即P点和O点重合，如图1，

连接AC，
∵∠AOC=∠MCB=90°，且$\frac{AO}{CO}=\frac{CM}{BM}$，
∴Rt△AOC∽Rt△MCB，
∴此时P点坐标为（0，0）．
若P点在y轴上，则∠PAC=90°，如图2，过A作AP₁⊥AC交y轴正半轴于P₁，

∵Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{{OP}_{1}}{OA}$，
即$\frac{1}{3}$=$\frac{O{P}_{1}}{1}$，
∴点P₁（0，$\frac{1}{3}$）．
若P点在x轴上，则∠PCA=90°，如图3，过C作CP₂⊥AC交x轴正半轴于P₂，

∵Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴$\frac{AO}{AC}$=$\frac{AC}{{AP}_{2}}$，
即$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{A{P}_{2}}$，AP₂=10，
∴点P₂（9，0）．
∴符合条件的点有三个：O（0，0），P₁（0，$\frac{1}{3}$），P₂（9，0）．

点评 此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识，（3）题中能够发现点O是符合要求的P点，是解决此题的突破口．