Question

【题目】阅读下列材料：

问题：如图所示，在正方形ABCD和BEFG中，点A，B，E在同一直线上，P是线段DF中点，连接PG，PC．

探究：当PG与PC的夹角为90°时，平行四边形BEFG是正方形．

小聪同学的思路是：首先可以证明四边形BEFG是矩形，然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题答案．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．

（1）求证：四边形BEFG是矩形；

（2）求证：PG与PC的夹角为90°时，四边形BEFG是正方形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】证明：（1）在正方形ABCD中，∠ABC=90°，

∴∠EBG=90°，

∵四边形BEFG是平行四边形，

∴平行四边形BEFG是矩形，

（2）如图，

延长GP交DC于点H，

∵在正方形ABCD和BEFG中，

∴AB∥DC，RE∥GF，

∴DC∥GF，

∴∠HDP=∠GFP，∠DHP=∠FGP，

∵点P是线段DF中点，

∴DP=FP，

∴△DHP≌△FGP，

∴DH=FG，HP=GP，

∵∠CPG=90°，

∴CH=CG，

在正方形ABCD中，DC=BC，

∴DH=BG，

∴BG=GF，

由（1）知，四边形BEFG是矩形，

∴四边形BEFG是正方形．